『手を動かして学ぶ微分積分』

『藤岡敦『手を動かして学ぶ微分積分』を読む』

Maximaを使ってみる

p.14

p.14　例2.2

limit((2*x-2)/abs(x-1),x,1,plus);　⇒　2
limit((2*x-2)/abs(x-1),x,1,minus);　⇒　-2

本文を読んでわかるように、グラフとしては、

ただし、x=0のとき、定義されていないので、x=0の点は白丸となるべき。
実際、limit(f(x),x,1); ⇒　und（未定義）

この問題は、グラフを左に１移動すると、
関数　2x/|x|について、左右から０に近づけることと同じ。
xは奇関数、|x|は偶関数。奇関数／偶関数　なので、2x/|x|は、奇関数。

ちなみに、奇関数×奇関数＝偶関数

例2.3
x -> +0　⇒　1/x -> +infinity
x -> -0　⇒　1/x -> -infinity

limit(1/x,x,0,plus);　⇒　+infinity
limit(1/x,x,0,minus);　⇒　-infinity

まあ、1/xは奇関数なので、
f(1/(-x))=-f(1/x)

例2.5）
x->+infinity ⇒ (1+1/x)^x ⇒ e

limit((1+1/x)^x,x,infinity); ⇒ %e

例2.7)
x->-infinity ⇒ (1+1/x)^x ⇒ e

limit((1+1/x)^x,x,-infinity); ⇒ %e

この図からは、-1あたりでかなり大きな値となる。
たしかに、-1だと
1/0となるので無限大となる。
確かめてみる。

limit((1+1/x)^x,x,-1,plus);　⇒　-infinity
limit((1+1/x)^x,x,-1,minus);　⇒　infinity
ちなみに、
limit((1+1/x)^x,x,0);　⇒　1

例題2.2）
x -> 2+0 ⇒ 1/(x-2) ⇒ ？
limit(1/(x-2),x,2,plus); ⇒ infinity
このグラフを考える。x軸方向に、左に２並行移動すると、
1/xとなる。なので、infinityとなるのは明らか。

例題2.3）
x->+0　⇒　xsin(1/x) ->?
x->+infinity ⇒ sinx/x -> ?

limit(x*sin(1/x),x,0,plus);　⇒　0
limit(sin(x)/x,x,inf);　⇒　0

グラフは