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yacas 1.0.63

高校数学編

手元にある高校生用の数学の教科書に従って、ちょっと遊んでみよう。

数学Ⅰ
１章　２次関数

２次関数の定義
f(x) := 2*x^2+1
f(1) => 3
f(3) => 19
f(a) => 2*a^2+1

２次関数のグラフ
グラフはgnuplotを活用して行う。
Plot2D({1/2*x^2,2*x^2,x^2,-(1/2)*x^2,-2*x^2,-x^2},-3:3)
グラフを描くのに使ったデータはc:\Prgram Files\yacas\winrel\plot.tmpフォルダにあるので、グラフを描き終わったら、削除する。

Plot2D({2*(x-3)^2+4,2*x^2},-5:5)

２次方程式の解の公式

Solve(a*x^2+b*x+c,x)
=> {x==(Sqrt(b^2-4*a*c)-b)/(2*a),x==(-(b+Sqrt(b^2-4*a*c)))/(2*a)}

PSolve(a*x^2+b*x+c,x)
=> {(Sqrt(b^2-4*a*c)-b)/(2*a),(-(b+Sqrt(b^2-4*a*c)))/(2*a)}

PSolve(3*x^2-5*x+1,x)
=>{(Sqrt(13)+5)/6,(5-Sqrt(13))/6}
PSolve((-m)^2+4*(m+3),m)
=> {6,-2}

２章　三角比

TrigSimpCombine(Sin(a)^2+Cos(a)^2) =>1
Sin(a)/Cos(a) => Tan(a)

３章　個数の処理

階乗　5! => 120
順列　nPr=n!/(n-r)!

組合せ　nCr=nPr/r!で　yacasでは　Bin(n,r)
Bin(10,3) => 120
bin はbinomial coeffients（２項係数）から来ている。これは２項係数の係数がnCrだからである。

数学Ａ
１章　数と式

数式の展開
Expand(*1) => 4*x^3-4*x^2+3*x-9

乗法公式Ⅰ
(a+b)^2,(a+b)(a-b),(x+a)(x+b)まではできる。
Expand(*2) => (c*x^2+d*x)*a+c*b*x+d*d

乗法公式Ⅱ
(a+b)^3,(a+b)(a^2-ab+b^2)はできる

因数分解
Factorは次数が１の場合のみ因数分解できる。
Factor(9*x^2+12*x+4) => 9*(x+2/3)^2
Factor(a^2+7*a+12) => (a+4)*(a+3)

整式の除法
商　Div 余り　Mod
Div(2*x^3-x^2-x+5,x^2-2*x+2) => 2*x+3
Mod(2*x~3-x^2-x+5,x^2-2*x+2) => x-1

平方根

Sqrt(25) => 5
Sqrt(343) => Sqrt(343)

２章　数列

一般項4n-1の数列を第１項から第５項まで
Table(4*i-1,i,1,5,1) => {3,7,11,15,19}
最後の１は間隔
１から５０まで奇数
Table(i,i,1,50,2) => {1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,...,49}
数列の合計
一般項4n-1の第１項から第１０項までの合計
Sum(i,1,10,4*i-1) => 210

数学Ⅱ

１章　図形と式

絶対値　
Abs(x)
三角関数の加法定理はできない。
２倍角の公式もできない。
積を和や差に変形する公式はできる。
TrigSimpCombine(Sin(a)*Cos(b))
=> Sin(b+a)/2-Sin(b-a)/2
逆の公式はできない。

３章　指数・対数関数

1^0 => 1
３乗根
125^(1/3) => 125^(1/3) 　（変わらない）
N(%) => 5.

対数関数
自然対数　Ln(x)
Ln(Exp(1)) => 1

４章　微分法と積分法

D(x) x^n => n*x^(n-1)
D(x) x^3-3*x^2+4*x-2 => 3*x^2-6*x+4

Integrate(x) x^n => x^(n+1)/(n+1)
定積分
Integrate(x,x1,x2) Cos(x) => Sin(x2)-Sin(x1)

Integrate(x,0,2) Abs(x-1) => 1

数学Ｂ
１章ベクトル

内積
{a,b,c}.{d,e,f} => a*d+b*e+c*f

２章　複素数と複素数平面

虚数単位　I
I => Complex(0,1)
3+2*I => Complex(3,2)
実数部分　Re(x)
虚数部分　Im(x)

共役複素数
Conjugate(x)

複素数の四則演算
Complex(a,b)+Complex(c,d)
Complex(a,b)*Complex(c,d) => Complex(a*c-b*d,a*d+c*d)
でも、除法はうまくいかない。
Complex(a,b)/Complex(c,d)はだめ。

Sqrt(-25) => Complex(0,5)
けど、Solve(x^2==Complex(-4),x)はうまくいかない。

高次方程式

PSolve(x^3-1,x) （PSolve(x^3-1==0,x)に同じ）
=> {1,Complex(*3),Complex(*4)}

複素数の極形式
偏角 Arg(x)
Arg(1+I) => Pi/4

ド・モアブルの定理
(1+Sqrt(3)*I)^6 => 64

数学Ⅱ
２章　数列と関数の極限

Limit(x,Infinity) (x^2+x+1)/(2*x^2+1) => 1/2
Limit(x,0) Sin(x)/x => 1
Limit(x,0) (1-Cos(x))/x^2 => 1/2

３章　微分法

f1(x) := 2*x+3
f2(x) := 2*x^2+3*x-1
D(x) f1(x)*f2(x) => (2*x+3)*(4*x+3)+2*(2*x^2+3*x-1)
Simplify(%) => 12*x^2+24*x+7

D(x) 1/(2*x+1) => (-2)/(2*x+1)^2

D(x) (3*x-1)/(x^2+1) => (3*(x^2+1)-(3*x-1)*2*x)/(x^2+1)^2
Simplify(%) => ((-3)*x^2+2*x+3)/(x^4+2*x^2+1)

D(x) (2*x^3-1)^4 => 24*x^2*(2*x^3-1)^3

D(x) Tan(x) => 1/Cos(x)^2
D(x) Ln(x) => 1/x
D(x) a^x => a^x*Ln(a)
D(x) Exp(x) => Exp(x)

高次導関数
Simplify(D(x,2) Exp(x)*Sin(x)) => 2*Exp(x)*Cos(x)

５章　積分法

Integrate(x) x^a => x^(a+1)/(a+1)
Integrate(x) 1/x => Ln(x)

Integrate(x) 1/Cos(x)^2 => Tan(x)
Integrate(x) a^x => a^x/Ln(a)

数学Ｃ
１章　行列と線形計算

{{1,3},{5,-2}}+{{6,-7},{4,8}} => {{7,-4},{9,6}}
2*{{1,2},{3,4}} => {{2,4},{6,8}}

{{800,700},{1000,500}} . {2,3} => {3700,3500}

{{1,3},{6,7}} . {{2,0},{4,5}} => {{14,15},{40,35}}

零行列
ZeroMatrix(2,3) => {{0,0,0},{0,0,0}}
ZeroMatrix(2) => {{0,0},{0,0}}

単位行列
Identity(n)
Identity(3) => {{1,0,0},{0,1,0},{0,0,1}}

行列の累乗
MatrixPower(matrix,n)
MatrixPower({{1,-3},{1,-2}},4) => {{1,-3},{1,-2}}

逆行列
Inverse(matrix)
Inverse({{a,b},{c,d}})
=> {{d/(a*d-b*c),(-b)/(a*d-b*c)},{(-c)/(a*d-b*c),a/(a*d-b*c)}}

連立１次方程式の解法
SolveMatrix(matrix, vector)
SolveMatrix({{1,2},{3,4}},{5,6}) => {-4,9/2}