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一次元調和振動子

量子力学　>　一次元調和振動子

$F=-Kx$ という力は $V(x)=\frac{1}{2}Kx^{{}^2}$ というポテンシャルエネルギーで表されるから，

$-\frac{\hbar^{{}^2}}{2m}\frac{\mbox{d}^{{}^2}u}{\mbox{d}x^{{}^2}}+\frac{1}{2}Kx^{{}^2}u=Eu$

$\frac{\hbar^{{}^2}}{2m}\frac{\mbox{d}^{{}^2}u}{\mbox{d}x^{{}^2}}+(E-\frac{1}{2}Kx^{{}^2})u=0$

$\frac{\mbox{d}^{{}^2}u}{\mbox{d}x^{{}^2}}+\frac{2m}{\hbar^{{}^2}}(E-\frac{1}{2}Kx^{{}^2})u=0$

$\xi=\alpha x$

$\alpha^{{}^2}\ \frac{\mbox{d}^{{}^2}u}{\mbox{d}\xi^{{}2}}+\frac{2m}{\hbar^{{}^2}}(E-\frac{1}{2}K\frac{\xi^{{}^2}}{\alpha^{{}^2}})u=0$

$\frac{\mbox{d}^{{}^2}u}{\mbox{d}\xi^{{}2}}+\frac{2m}{\alpha^{{}^2}\hbar^{{}^2}}(E-\frac{1}{2}K\frac{\xi^{{}^2}}{\alpha^{{}^2}})u=0$

ここで

$\frac{2m}{\alpha^{{}^2}\hbar^{{}^2}}(E-\frac{1}{2}K\frac{\xi^{{}^2}}{\alpha^{{}^2}})$

$=\frac{2m}{\alpha^{{}^2}\hbar^{{}^2}}E-\frac{mK}{\alpha^{{}^4}\hbar^{{}^2}}\xi^{{}^2}$

から

$\alpha^{{}^4}=\frac{mK}{\hbar^{{}^2}}$

$\lambda=\frac{2mE}{\alpha^{{}^2}\hbar^{{}^2}}=\frac{2E}{\hbar}$\frac{m}{K}$^{{}^{\frac{1}{2}}}$

であれば

$\frac{\mbox{d}^{{}^2}u}{\mbox{d}\xi^{{}2}}+(\lambda-\xi^{{}^2})u=0$

最終更新：2013年01月06日 09:56