「§9 正項級数の収束条件と交代級数の和」の編集履歴（バックアップ）一覧はこちら
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正の項 a&sub(){n}>0 からなる級数 $$ \sum_{n=0}^\infty a_n $$ を''正項級数''と呼ぼう。
0<r<1 に対して、
$$ \sum_{n=0}^m r^n = \frac{1-r^{m+1}}{1-r},\ \lim_{m\to\infty} r^m = 0 $$ より、
級数 $$\sum_{n=0}^\infty r^n$$ は $$\frac{1}{1-r}$$ に収束する。
このことをひたすら応用してゆく。
(1) 収束するものより小さければ収束。
(2) 収束するものより増え方が弱ければ収束。
#blockquote(){{{命題 1.17
$$ \textstyle \sum a_n $$, $$ \textstyle \sum c_n $$ を正項級数、$$ \textstyle \sum c_n $$ は収束するものとする。
このとき、次が成立。
(1) すべての n について $$ a_n \le c_n $$ ならば $$ \textstyle \sum a_n $$ も収束。
(2) すべての n について $$ \tfrac{a_{n+1}}{a_n} \le \tfrac{c_{n+1}}{c_n} $$ ならば $$ \textstyle \sum a_n $$ も収束。}}}
'''Proof.'''
省略
#blockquote(){{{命題 1.18 (コーシーの判定法)
0<r<1 なる実数 r が存在して、
ある n&sub(){0} 以上のすべての整数 n について $$ \sqrt[n]{a_n} \le r $$ が成立すれば $$ \textstyle \sum a_n $$ は収束。}}}
>(注意)
>1 より小さい r を固定して、$$ \sqrt[n]{a_n} \le r $$ となるのが条件。
>したがって、$$ \sqrt[n]{a_n} $$ が 1 にどこまでも近づくときは使えない。
'''Proof.'''
条件より、n≧n&sub(){0} で a&sub(){n}≦r&sup(){n}
よって 命題 1.17 (1) より n&sub(){0} 以降の級数は収束。
n&sub(){0} までは有限個しか項がないので、級数 $$ \textstyle \sum a_n $$ は収束。 ∥
#blockquote(){{{命題 1.19 (ダランベールの判定法)
0<r<1 なる実数 r が存在して、
ある n&sub(){0} 以上のすべての整数 n について $$ \frac{a_{n+1}}{a_n} \le r $$ が成立すれば $$ \textstyle \sum a_n $$ は収束。}}}
'''Proof.'''
c&sub(){n}=r&sup(){n} とおくと、
条件より、n≧n&sub(){0} で $$ \frac{a_{n+1}}{a_n} \le \frac{r^{n+1}}{r^n} = \frac{c_{n+1}}{c_n} $$
よって 命題 1.17 (2) より n&sub(){0} 以降の級数は収束。
ゆえに級数 $$ \textstyle \sum a_n $$ は収束。 ∥
#blockquote(){{{命題 1.20 (ラーベの判定法)
$$ -\infty \le r < -1 $$ なる実数 r が存在して、
ある n&sub(){0} 以上のすべての整数 n について $$ n \left( \frac{a_{n+1}}{a_n} -1 \right) \le r $$ が成立すれば $$ \textstyle \sum a_n $$ は収束。}}}
'''Proof.'''
条件より、n≧n&sub(){0} では
$$ \begin{align} n(a_{n+1}-a_n) & \le ra_n \\ na_{n+1}-(n-1)a_n & \le (r+1)a_n \end{align} $$
m を n&sub(){0} 以上の整数とし、
両辺 n = n&sub(){0}, n&sub(){0}+1, ... , m について足し合わせると、
$$ ma_{m+1}-(n_0-1)a_{n_0} \le (r+1) \sum_{n=n_0}^\infty a_n $$
r+1 が負であることに注意すれば、
$$ \sum_{n=n_0}^\infty a_n \le \underbrace{\frac{m}{r+1}a_{m+1}}_{<0}-\frac{n_0-1}{r+1}a_{n_0} < -\frac{n_0-1}{r+1}a_{n_0}$$
n&sub(){0} から始まる級数の m までの部分和は単調増大かつ有界なので、この級数は収束する。
ゆえに級数 $$ \sum a_n $$ も収束。 ∥
(例)
省略
項の正負が交互に入れ替わる無限級数を''交代級数''という。
#blockquote(){{{命題 1.21
各項の絶対値が単調減少し零に収束する交代級数は収束する。}}}
'''Proof.'''
区間縮小法により容易に示せる。 ∥
特殊な級数の値について、[[テーラー展開の例]]の後半を参照すること。
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*次:[[§ 連続関数]]
正の項 a&sub(){n}>0 からなる級数 $$ \sum_{n=0}^\infty a_n $$ を''正項級数''と呼ぼう。
0<r<1 に対して、
$$ \sum_{n=0}^m r^n = \frac{1-r^{m+1}}{1-r},\ \lim_{m\to\infty} r^m = 0 $$ より、
級数 $$\sum_{n=0}^\infty r^n$$ は $$\frac{1}{1-r}$$ に収束する。
このことをひたすら応用してゆく。
(1) 収束するものより小さければ収束。
(2) 収束するものより増え方が弱ければ収束。
#blockquote(){{{命題 1.17
$$ \textstyle \sum a_n $$, $$ \textstyle \sum c_n $$ を正項級数、$$ \textstyle \sum c_n $$ は収束するものとする。
このとき、次が成立。
(1) すべての n について $$ a_n \le c_n $$ ならば $$ \textstyle \sum a_n $$ も収束。
(2) すべての n について $$ \tfrac{a_{n+1}}{a_n} \le \tfrac{c_{n+1}}{c_n} $$ ならば $$ \textstyle \sum a_n $$ も収束。}}}
'''Proof.'''
省略
#blockquote(){{{命題 1.18 (コーシーの判定法)
0<r<1 なる実数 r が存在して、
ある n&sub(){0} 以上のすべての整数 n について $$ \sqrt[n]{a_n} \le r $$ が成立すれば $$ \textstyle \sum a_n $$ は収束。}}}
>(注意)
>1 より小さい r を固定して、$$ \sqrt[n]{a_n} \le r $$ となるのが条件。
>したがって、$$ \sqrt[n]{a_n} $$ が 1 にどこまでも近づくときは使えない。
'''Proof.'''
条件より、n≧n&sub(){0} で a&sub(){n}≦r&sup(){n}
よって 命題 1.17 (1) より n&sub(){0} 以降の級数は収束。
n&sub(){0} までは有限個しか項がないので、級数 $$ \textstyle \sum a_n $$ は収束。 ∥
#blockquote(){{{命題 1.19 (ダランベールの判定法)
0<r<1 なる実数 r が存在して、
ある n&sub(){0} 以上のすべての整数 n について $$ \frac{a_{n+1}}{a_n} \le r $$ が成立すれば $$ \textstyle \sum a_n $$ は収束。}}}
'''Proof.'''
c&sub(){n}=r&sup(){n} とおくと、
条件より、n≧n&sub(){0} で $$ \frac{a_{n+1}}{a_n} \le \frac{r^{n+1}}{r^n} = \frac{c_{n+1}}{c_n} $$
よって 命題 1.17 (2) より n&sub(){0} 以降の級数は収束。
ゆえに級数 $$ \textstyle \sum a_n $$ は収束。 ∥
#blockquote(){{{命題 1.20 (ラーベの判定法)
$$ -\infty \le r < -1 $$ なる実数 r が存在して、
ある n&sub(){0} 以上のすべての整数 n について $$ n \left( \frac{a_{n+1}}{a_n} -1 \right) \le r $$ が成立すれば $$ \textstyle \sum a_n $$ は収束。}}}
'''Proof.'''
条件より、n≧n&sub(){0} では
$$ \begin{align} n(a_{n+1}-a_n) & \le ra_n \\ na_{n+1}-(n-1)a_n & \le (r+1)a_n \end{align} $$
m を n&sub(){0} 以上の整数とし、
両辺 n = n&sub(){0}, n&sub(){0}+1, ... , m について足し合わせると、
$$ ma_{m+1}-(n_0-1)a_{n_0} \le (r+1) \sum_{n=n_0}^\infty a_n $$
r+1 が負であることに注意すれば、
$$ \sum_{n=n_0}^\infty a_n \le \underbrace{\frac{m}{r+1}a_{m+1}}_{<0}-\frac{n_0-1}{r+1}a_{n_0} < -\frac{n_0-1}{r+1}a_{n_0}$$
n&sub(){0} から始まる級数の m までの部分和は単調増大かつ有界なので、この級数は収束する。
ゆえに級数 $$ \sum a_n $$ も収束。 ∥
(例)
演習のプリントを参照。
項の正負が交互に入れ替わる無限級数を''交代級数''という。
#blockquote(){{{命題 1.21
各項の絶対値が単調減少し零に収束する交代級数は収束する。}}}
'''Proof.'''
区間縮小法により容易に示せる。 ∥
特殊な級数の値について、[[テーラー展開の例]]の後半を参照すること。
----
*次:[[§ 連続関数]]
