参拾萬仮想大学

具体例1

最終更新：2013年02月19日 11:19

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具体例1：既約多項式 $x^{2}+1$ の零点による拡大体（ $x^{4}=1$ による円分体）

$\mathbb{Q}$ 上の既約方程式 $x^{2}=-1$ の解は $x=\pm i$ の2個である。
（これらはすべて，方程式 $x^{4}=1$ の解である。）

$\mathbb{Q}$ の2次ガロア拡大体 $\mathbb{Q}(i)=\{\ a+bi\ |\ a,\ b\in\mathbb{Q}\ }$ を考える。

$\mathbb{Q}(i)$ の写像 $\sigma^n$ を
　　 $\sigma^n(i)=i^n$
で定義すると， $\mathbb{Q}(i)$ の $\mathbb{Q}$ 上のガロア群 $G$ は
　　 $G = \{\ e,\ \sigma^3\ \}$

よって， $\mathbb{Q}$ の拡大体 $\mathbb{Q}(i)$ には部分体（自明でない部分体）は存在しない。

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