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\cdots 99999999(2008年11月30日)

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\cdots 99999999 は、初項9,公比10の無限等比級数
9+90+900+9000+90000+900000+9000000+\cdots
のことである。これをさらに,数学記号\sumを用いて
\sum_{n=1}^{\infty} 9\cdot 10^{n-1}
と書くと,議論に参加してくる馬鹿の割合を抑制する効果がある。

Dr.鬼押出の等式

\cdots 99999999=-1
Dr.鬼押出によって証明されたこの等式は,人類の至宝などと呼ばれ,多数の素人数学者に愛されている。

以下に,この等式の証明を記す。

証明1

\cdots 99999999=x
とおく。この両辺を10倍すると
\cdots 99999990=10x
辺々引いて 9=-9x,したがって x=-1 (証明終)

証明2

無限等比級数の和の公式 \sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1}=\frac{a}{1-r} より
\sum_{n=1}^{\infty} 9\cdot10^{n-1}=\frac{9}{1-10}=\frac{9}{-9}=-1 (証明終)

証明3

\cdots 999999991 を加えれば,
\cdots 99999999+1=\cdots 00000000
ここで右辺は
0+0\times10+0\times100+0\times1000+0\times100000+\cdots
のことであり,当然ながら0に収束する。すなわち
\cdots 99999999+1=0
左辺の+1を右辺に移項すれば
\cdots 99999999=-1 (証明終)

証明4

  • 108\div9=12
  • 1008\div9=112
  • 10008\div9=1112
  • 100008\div9=11112
  • 1000008\div9=111112
  • 10000008\div9=1111112
  • 100000008\div9=11111112
などから,数学的帰納法により
  • \cdots 00000008\div9=\cdots 11111112
が示される。ここで左辺の \cdots 00000008
8+0\times10+0\times100+0\times1000+0\times100000+\cdots
のことであり,当然ながら8に収束する。したがって
8\div9=\cdots 11111112
すなわち
\frac{8}{9}=\cdots 11111112
ここで,両辺から1を引くと
-\frac{1}{9}=\cdots 11111111
この両辺に9を乗ずれば
-1=\cdots 99999999 (証明終)

証明5

  • 99\times 99=9801
  • 999\times 999=998001
  • 9999\times 9999=99980001
  • 99999\times 99999=9999800001
  • 999999\times 999999=999998000001
などから,数学的帰納法により
  • \cdots 99999999\times \cdots 99999999=\cdots 00000001
が示される。ここで右辺の \cdots 00000001
1+0\times10+0\times100+0\times1000+0\times100000+\cdots
のことであり,当然ながら1に収束する。したがって
\cdots 99999999\times \cdots 99999999=1
すなわち
(\cdots 99999999)^2=1
よって \cdots 99999999=\pm 1 だが,明らかに \cdots 99999999\neq 1 である。したがって
\cdots 99999999=-1 (証明終)

Dr.鬼押出の等式の応用

  • 1日目に,消費者金融から9円借りる
  • 2日目に,消費者金融から90円借りる
  • 3日目に,消費者金融から900円借りる
  • 4日目に,消費者金融から9000円借りる
  • 5日目に,消費者金融から90000円借りる
以下同様に,n日目に消費者金融から9\times10^{n-1}円借りる作業を永遠に続けると,極限的には消費者金融にお金を1円貸していることになる。(ただし,通常は消費者金融の資金が底をついた時点でこの作業を中断せざるを得なくなり,莫大な借金を抱えることになる。ご利用は計画的に。)

嘘発見器 信頼性に疑問(2004年10月27日)

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ここ数年の科学技術の進歩により,格段に信頼性が上がったとされてきた最近の嘘発見器.しかし,被験者が言う文章によってはほとんどの場合に過った判定をしてしまうことが,北海道大学の鬼押出教授らの研究によってわかった.「我が社の嘘発見器の信頼度は99.99%以上」などとしている各メーカーの広告に対して,鬼押出教授らは日本広告審査機構(JARO)に審査を要求する方針だ.(39面に関連記事)


鬼押出教授らは,ジャンボ宝くじを購入したが末等しか当たらなかった人々を日本全国から無作為に1万人抽出し,彼らに「もし私が1等が当選していたら,その全ての当選金をユニセフに寄付していた」と言ってもらう実験をおこなった.論理学において「仮定が偽だった場合,結論の真偽に関わらずその命題は真である」ことは常識.したがって「1等に当選した」という仮定が偽となる人々が前述の文章を言った場合には,その文章は「真」と判定されなければならないのだが,実験の結果,すべての嘘発見器がすべての被験者に対して「嘘」と判定した.

鬼押出教授によれば,同じ被験者に「聖徳太子が今も生き続けていたら,今年でちょうど二十歳だね」,「2001年9月11日に同時多発テロが起こっていなかったら,今頃私たちは木星で生活していたのになぁ」などの突拍子のないことを言ってもらっても,同様の結果が得られたという.

これを受け,容疑者の取り調べなどで嘘発見器を頻繁に利用してきた警視庁や各警察署では,「ほぼ確実に過った判定をする可能性がある最新機種より,当たる確率と当たらない確率が半々の機種の方がまだまし」(警視庁幹部)と,最新の嘘発見器をすべて処分し,近所の小中学生が夏休みの自由研究で作った嘘発見器を早々に導入する方針を明らかにした.

円周率の有理数化に成功(2004年10月09日)

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円周率はこれまで無理数であるとされてきたが,ある条件下においては有理数になることが,マサチューセッツ工科大学のオニオシダシ教授によって発見された.よく知られた定数に疑問を投げかけられた数学界に,衝撃が走った.(39面に関連記事)


円周率とは円の周と直径の長さの比のことで,その値3.14159265……は,近所の大人たちから神童などとおだてられて調子にのっている小学生を中心に,これまで長い間親しまれてきた.円周率はただ無理数なだけでなく,代数方程式の解にならない「超越数」であることがドイツの数学者リンデマンによって既に証明されているが(1882年),しかし今回の発見は,その証明に欠陥があることを浮き彫りにした.

円とは「ある定点Cからの距離が等しい点Pの集合」として定義される図形のこと.平面上の2点 (x_{1},y_{1})(x_{2},y_{2}) の距離は
 \sqrt{(|x_{1}-x_{2}|^{2}+|y_{1}-y_{2}|^{2})}
と定義するのが一般的だが,数学では「距離の公理」を満たす関数は距離とみなしてよいため,その2点の距離を他の数式で定義することも可能である.そこで,平面上の2点 (x_{1},y_{1})(x_{2},y_{2}) の距離を
 \max\{|x_{1}-x_{2}|,|y_{1}-y_{2}|\}
と定義してみると,Cを定点とし,Cからの距離が定数 r であるような点Pの集合は,一辺の長さが 2r の正方形となる.しかし見た目は正方形でも,この図形は円の定義を満たしているのである.そして,この図形の周の長さ 8r と直径 2r との比の値は 4 となり,無理数ではなくなる.

オニオシダシ教授によれば,「これはあくまで一例に過ぎない.距離の定義を変更すれば,円周率はさまざまな値を取り得る.」

そもそも円周率は,すべての円において円周の長さと直径の比が一定となることを前提として定義されているが,今回の発見は,今までの円周率の定義が Well-defined(=矛盾なく定義された状態)ではなかったことを明らかにした.もっとも基本的な図形の1つである円に関する定義が曖昧だったことを白日の目に晒された数学界はいま,蜂の巣をつついたような騒ぎになっている.しかし一方で「距離の定義を変更すれば値が異なるのは当然」という冷ややかな意見もあり,数学界の今後の動きが注目される.

また,前回の学習指導要領改定で「円周の長さを計算によって求めるときには円周率は3としてよい」としていた文部科学省では,次期改定にて円周率の値を4とすることを早くも検討し始めた模様.





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