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2次体の例5

最終更新：2008年01月02日 22:23

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$\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ における素数 $p$ の運命（ただし $p\neq2,\ 3$ ）

$p=\pm(a+b\sqrt{3})(a-b\sqrt{3})$ なる $a,\ b\in\mathbb{Z}$ が存在するための必要十分条件は
$p$ を $12$ で割ったときの余りが $1$ または $11$ であること。

素数	余り	分解例（分解は一意ではない）
5	5	×
7	7	×
11	11	$11=-1^2+3\cdot2^2=-(1+2\sqrt{3})(1-2\sqrt{3})$
13	1	$13=4^2-3\cdot1^2=(4+\sqrt{3})(4-\sqrt{3})$
17	5	×
19	7	×
23	11	$23=-2^2+3\cdot3^2=-(2+3\sqrt{3})(2-3\sqrt{3})$
29	5	×
31	7	×
37	1	$37=7^2-3\cdot2^2=(7+2\sqrt{3})(7-2\sqrt{3})$
41	5	×
43	7	×
47	11	$47=-1^2+3\cdot4^2=-(1+4\sqrt{3})(1-4\sqrt{3})$
53	5	×
59	11	$59=-4^2+3\cdot5^2=-(4+5\sqrt{3})(4-5\sqrt{3})$
61	1	$61=8^2-3\cdot1^2=(8+\sqrt{3})(8-\sqrt{3})$
67	7	×
71	11	$71=-2^2+3\cdot5^2=-(2+5\sqrt{3})(2-5\sqrt{3})$
73	1	$73=10^2-3\cdot3^2=(10+3\sqrt{3})(10-3\sqrt{3})$
79	7	×
83	11	$83=-5^2+3\cdot6^2=-(5+6\sqrt{3})(5-6\sqrt{3})$
89	5	×
97	1	$97=10^2-3\cdot1^2=(10+\sqrt{3})(10-\sqrt{3})$

分解の仕方は一意ではない…… $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ は $(2\pm\sqrt{3})^n$ を単数に持つため。

上の表を作る過程で感じた疑問（要調査）

$p=(a+b\sqrt{3})(a-b\sqrt{3})$ なる $a,\ b\in\mathbb{Z}$ が存在する　 $\Longleftrightarrow$ 　 $p$ を $12$ で割ったときの余りが $1$
$p=-(a+b\sqrt{3})(a-b\sqrt{3})$ なる $a,\ b\in\mathbb{Z}$ が存在する　 $\Longleftrightarrow$ 　 $p$ を $12$ で割ったときの余りが $11$

は正しいか？

誤りを見つけたらコメントとして記入してください。

コメントは，こんな風に書き込まれます。 (2007-12-30 16:25:45)

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