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変形階差型漸化式の解法:n型

a_{n+1} = pa_n + qn
変形して、両辺から一次方程式g(x)=sx+tが引ける公比数列になると考えると、
a_{n+1}-g(n+1)=p\{a_n-g(n)\}
\iff a_{n+1}-\{s(n+1)+t\}=p\{a_n-(sn+t)\}
\iff a_{n+1} = pa_n + (-p+1)sn-t(p-1)+s
これが初めの漸化式に等しいのだから、
\left\{ \begin{array}{c} (-p+1)s=q \\ t(-p+1)+s=0 \end{array}\right.
\iff s={q \over {-p+1}},t=-\frac{q}{(-p+1)^2}
よって、
a_n=\{a_1-(s+t)\}p^{n-1}+sn+t
\iff a_n=\left\{ a_1 + \frac{pq}{(p-1)^2} \right\} p^{n-1} - \frac{q}{p-1} n - \frac{q}{(p-1)^2}

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最終更新：2012年01月18日 01:05
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