center_math @ ウィキ
center_math @ ウィキ

変形階差型漸化式の解法:二次関数型

a_{n+1}=pa_n+qn^2+rn+s
これを、二次関数g(n)=xn^2+yn+zを使って等比数列と考えると、
a_{n+1}-g(n+1)=p(a_n-g(n))
\iff a_{n+1}-\{x(n+1)^2+y(n+1)+z\}=p\{a_n-(xn^2+yn+z)\}
\iff a_{n+1}=pa_n+x(1-p)n^2 + \{2x+(1-p)y\}n+x+y+(1-p)z
よって
\left\{ \begin{array}{c} x(1-p)=q \\ 2x+(1-p)y=r \\ x+y+(1-p)z=s \end{array}\right.
\iff x=\frac{q}{1-p},y=\frac{r(1-p)-2q}{(1-p)^2},z=\frac{s(1-p)^2-(q+r)(1-p)+2q}{(1-p)^3}
よって、
s+t+u=\frac{(q+r+s)(1-p)^2-(3q+r)(1-p)+2q}{(1-p)^3}
したがって、
a_n-(xn^2+yn+z)=\{a_1-(x+y+z)\}p^{n-1}
\iff a_n=\{a_1-(s+t+u)\}p^{n-1}+xn^2+y^n+z

タグ：

+ タグ編集
  • タグ：
タグの更新に失敗しました
エラーが発生しました。ページを更新してください。
ページを更新
「変形階差型漸化式の解法:二次関数型」をウィキ内検索
最終更新：2012年01月18日 15:42
ツールボックス

下から選んでください:

新しいページを作成する
ヘルプ / FAQ もご覧ください。