連立漸化式

$\left( \begin{array}{c} a_{n+1} \\ b_{n+1} \end{array}\right)=\left( \begin{array}{cc} p & q \\ r & s \end{array}\right)\left( \begin{array}{c} a_n \\ b_n \end{array}\right)$

$\iff\left\{ \begin{array}{c} a_{n+1}=pa_n + qb_n \\ b_{n+1}=ra_n+sb_n \end{array}\right.$
ここで変形すると、
$qb_n=a_{n+1}-pa_n$
$\iff b_{n+1}={1 \over q}a_{n+2}-{p \over q}a_{n+1}$
また、
$b_{n+1}=ra_n+sb_n$
$\iff b_{n+1}=\left( r-{ps \over q} \right) a_n + {s \over q}a_{n+1}$
よって
$a_{n+2}=(p+s)a_{n+1}+(-ps+qr)a_n$
の3項間漸化式が導かれるから、
$a_n\to a_n,p\to p+s,q\to -ps+qr$
と置き換えると、
$\alpha = \frac{(p+s)-\sqrt{(p-s)^2+4qr}}{2},\beta = \frac{(p+s)+\sqrt{(p-s^2)+4qr}}{2}$
として、
$a_n=\frac{{\beta}^{n-1}\{(p-\alpha)a_1+qb_1\}-{\alpha}^{n-1}\{(p-\beta)a_1+qb_1\}}{\sqrt{(p-s)^2+4qr}}$
$b_n$ についても同様にして解くと、

$\gamma = \frac{(r+q)-\sqrt{(r-q)^2+4sp}}{2},\delta = \frac{(r+q)+\sqrt{(r-q^2)+4sp}}{2}$
として、
$b_n=\frac{{\delta}^{n-1}\{(r-\gamma)a_1+sb_1\}-{\gamma}^{n-1}\{(r-\delta)a_1+sb_1\}}{\sqrt{(r-q)^2+4sp}}$

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最終更新：2012年01月19日 11:48

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