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範囲

分数方程式の範囲

$n&gt;2$ のとき、
$f(n)=\frac{n+2}{n+1}$
$=1+\frac{3}{n-1}$
よって、 $1&lt;f(n)&lt;4$

$n&gt;1$ のとき、
$f(n)=\frac{2^n+2}{2^n+1}$
$=1+\frac{3}{2^n-1}$
よって、 $1&lt;f(n)&lt;4$

階乗と累乗の最大

$\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}=\frac{2^2}{1\cdot 2}\cdot \frac{2^{n-1}}{3\cdot 4\cdot 5\cdot ... (n+1)}\le 2 \cdot\frac{2^{n-1}}{3^{n-1}}=2\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}$

図形と式との関係

a>1とする。
$f(\theta)=\frac{\sin\theta}{\cos\theta+a}=\frac{\sin\theta}{\cos\theta-(-a)}$
このとき、 $f(\theta)$ は点B(0,-a)とP(sinθ,cosθ)との傾きになる。
(sinθ,cosθ)は中心(0,0)半径1の円上の点であるから、
二つを結ぶ直線が円の接線になるときf(θ)は最大となる。
よって、f(θ)が最大⇔∠OBPが最大⇔tan∠OBPが最大より、
$f(\theta)=\frac{1}{\sqrt{a^2-1}}$ のとき最大
図はa=3の場合を示す

ちなみに、微分によって示すと、最小値は $cos\theta=-\frac{1}{a}$ のときであるとわかる。

$f(x)=\frac{1-\cos 2x}{x^2}$
まず、 $1-\cos 2x=2\sin^2 x$ であるから、
$\frac{1-cos 2x}{x^2}=\frac{\sin^2 x}{x^2}=2\left| \frac{\sin x}{x} \right|^2$
よって、f(x)=f(-x)より、これは偶関数となるのでx>0だけを考えればよい。
また、 $\frac{\sin x}{x}$ は、関数 $g(x)=|\sin x|$ 上に点P(t,|sin t|)(t>0)をおいた時、
原点OとPとの傾きである $\frac{|\sin t|}{t}$ を表している。

したがって、この傾きの最大値は、 $\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1$ であるから、
関数f(x)のとりうる範囲は、 $0\le f(x)< 1$

ベクトルと方程式

$3(x^2+y^2+z^2)=3\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right)^2=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)^2 \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right)^2 = |\overrightarrow{e}|^2|\overrightarrow{x}|^2\ge (\overrightarrow{e} \cdot \overrightarrow{x} )^2=(x + y + z)^2$

$n\sum_{k=1}^n {x_k}^2 = n \left( \begin{array}{c} x_1 \\ {\vdots} \\ x_n \end{array}\right)^2=\left( \begin{array}{c} 1 \\ {\vdots} \\ 1 \end{array}\right)^2 \left( \begin{array}{c} x_1 \\ {\vdots} \\ x_n \end{array}\right)^2 = |\overrightarrow{e}|^2|\overrightarrow{x}|^2\ge (\overrightarrow{e} \cdot \overrightarrow{x} )^2=\left( \sum_{k=1}^n x_k \right)^2$

最大最小法

$a&lt;b&lt;c&lt;d$ を満たす４整数があるとき
$a+a+a+a&lt;a+b+c+d&lt;d+d+d+d$
$\iff 4a<a+b+c+d<4d$

(例三角形の60°
三角形の角度においては、
ある三角形△ABCがあるとき、
その角度が $\angle A<\angle <B\angle <\angle C$ を満たすのならば、
∠A+∠A+∠A<∠A+∠B+∠C<∠C+∠C+∠C
$\iff 3\angle A<\angle A+\angle B+\angle C<3\angle C$
より、∠A=60°なら、
∠A+∠B+∠C>180° より不成立。
∠C=60°なら、
∠A+∠B+∠C<180°　よりやはり不成立。
よって、∠60°になり得るのは∠Bのみである。