三角関数

単純化

$(\cos^2 x-\sin^2 x)\cos x + 4\sin^2 x \cos x$
$= 2\cos 2x\cos x + 2\sin 2x \sin x$
$= 2\cos (2x-x)$
$=2\cos x$

sinx+cosx+2sinxcosx

$\sin x + \cos x + 2\sin x \cos x$
$t=\sin x + \cos x$ として処理すると、 $t^2 -1 =2\sin x\cos x$
故に、 $t+(t^2 -1)=t^2 +t -1$ として処理される。

sinkπ,coskπ

kは整数だとして、
$\sin k\pi=0$
$\cos k\pi=(-1)^k$
$1-{\cos}^4\theta=(1-{\cos}^2\theta})(1+{\cos}^2\theta})={1\over 2}({\cos}^2\theta+3){\sin}^2\theta$

グラフからの三角関数の利用

2直線に囲われた角度のtan

$\tan \theta = \tan (\alpha- \beta )=\frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}$
得られたtanについて、
$1+\tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}$
として変形することもできる。

cos θ

$\cos AOB = {\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} \over |OA||OB|}$

tan θ

傾き=tan なので、(以下略)

最大値

$g(x)\sin \alpha - h(x)\cos \beta$ の最大値は、
$\sin \alpha =1,\cos \beta = -1$ のとき

3次方程式の特殊な解

$\cos 3\theta = 4\cos^3\theta-3\cos \theta$
であることを利用すると、
$4x^3-3x=k$ を満たすxの値が余弦を用いて表すことができる。
たとえば、 $f(x)=4x^3-3x+\frac{1}{2}=0$ の解は、
$f(\cos\theta)=\cos 3\theta+\frac{1}{2}=0\iff \cos 3\theta=\cos \frac{2\pi}{3}$
であることから、 $\theta= \frac{2\pi}{9}\iff x=\cos \frac{2\pi}{9}$
だと言える。

逆関数

$\sin^{-1}x:\left[ -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right](-1\le x\le 1)$
$\cos^{-1}x:\left[ 0,\pi\right] (-1\le x\le 1)$
$\tan^{-1}x:\left( -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) (-\infty <x<\infty)$

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最終更新：2013年06月30日 12:43

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