微分 - center_math @ ウィキ - atwiki（アットウィキ）

微分

一般公式

$\frac{dy}{dt}/\frac{dx}{dt}=\frac{dy}{dx}$
$\frac{d}{dt}x^2=\frac{dx}{dt}x$

特殊公式

$\left( \sqrt{f(x)} \right)'=\frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$
$\left( \frac{1}{f(x)} \right)'=-\frac{f'(x)}{\{f(x)\}^2}$
$\left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{ \{ g(x)\}^2 }$
$(x^a)'=ax^{a-1}$
$(e^x)&#039;=e^x$
$\left( \log |x| \right)'=\frac{1}{x}$

三角関数の微分

$(\sin x)'=\cos x$
$(\cos x)'=-\sin x$
$(\tan x)'=\frac{1}{\cos ^2 x}$
$(\sin ^{-1} x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$(\cos ^{-1} x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$(\tan ^{-1} x)'=\frac{1}{1+x^2}$
$(\sin^kx)^{(n)}=k^n\sin \left( kx+\frac{n\pi}{2} \right)$
$(\cos^kx)^{(n)}=k^n\cos \left( kx+\frac{n\pi}{2} \right)$
$(\tan^kx)^{(n)}=k^n\frac{(-1)^{n+1}}{\cos^{n+1} x}\det|A|$
(ただし、 $A=\{a_{ij}\},(1\le i\le n)(1\le j\le n)$
$a_{i0}=\sin\left(x+\frac{i\pi}{2}\right)$
$a_{i1}=\cos\left(x+\frac{i\pi}{2}\right)$
$a_{i j}(j\ge i+2)=0$
$a_{i j}(2\le j\le i+1)={}_iC_{k-1}\cos\right( x+\frac{(i-k+1)\pi}{2} \left)$ である)

楕円の微分

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$
これをxで微分すると、
$\frac{2x}{a^2}+\frac{2yy'}{b^2}=0\iff y'=-\frac{b^2}{a^2}\cdot \frac{x}{y}$
このことから、楕円の点(p,q)における接線は、
$\frac{px}{a^2}+\frac{qy}{b^2}=1$ だとわかる。

双曲線の微分

xy=k

(1)1文字に依存する場合、
$y=\frac{k}{x}\iff y'=-\frac{k}{x^2}$
(2)2文字に依存する場合、
$y+xy'=0\iff y'=-\frac{y}{x}$
これは(1)のk=xyと置き換えても作られる。

積分の微分

代入して微分

同じ文字で微分

$\frac{d}{dx}\int f(x)dx=f(x)$

積分に代入される変数で微分

$\frac{d}{dt}\int_{h(t)}^{g(t)}f(x)dx=f(g(t))g'(t)-f(h(t))h'(t)$
g(t)=t,h(t)=αのときは、f(t)のくくりだしが出来る。

$\frac{d}{dt}\int_{h(t)}^{g(t)}f(x+t)dx=\frac{d}{dt}\int_{h(t)+t}^{g(t)+t} f(u)du$

積分に代入される変数以外で微分

$\frac{d}{dx}\int_{h(t)}^{g(t)}f(x)dx=\frac{d}{dx}I(t)=0$

逆関数微分

$f(x)=a\sin (nx)$ の逆関数 $-\frac{\pi}{2}\le x\le \frac{\pi}{2}$ を $g(x)$ とするとき、
$g&#039;(x)$ の値を求める。
$y=f(x)=a\sin (nx)$ の逆関数の関係式は、
$x=a\sin (ny)$ である。これより、

$y=g(x)\iff x=a\sin (ny)$
(ⅰ)
$y=g(x)\iff g'(x)=y'$
(ⅱ)
両辺をxで微分すると、
$1=a\cos (ny)\cdot n\cdot y'$
$\iff y'=\frac{1}{an\cos (ny)}$
以上より、
$g'(x)=\frac{1}{an\cos (ny)}$
ここで、 $\cos (ny)\ge 0$ より、
$\cos (ny)=\sqrt{1-\sin^2 (ny)}=\sqrt{1-\left(\frac{x}{a}\right)^2}$
よって、 $g'(x)=\frac{1}{an\sqrt{1-\left(\frac{x}{a}\right)^2}}=\frac{1}{n\sqrt{a^2 -x^2}}$