解の個数

$a^x=x$

$a^x=x$ が実数解を持たない場合を考えると、
恒等的に $a^x&gt;x$ が成り立つ場合である。
故に、
$x\log a>\log x$
$\iff \log a>\frac{\log x}{x}\ge \frac{\log e}{e}=\frac{1}{e}$
$\iff a> e^{\frac{1}{e}}$
したがって、
$a< e^{\frac{1}{e}}$ で異なる2つの実数解を持つ。

$Ae^x=x$

$A=\frac{x}{e^x}$ より
$\lim_{x\to\infty} \frac{x}{e^x}=0,\lim_{x\to -\infty} \frac{x}{e^x}=-\infty$
また、 $\frac{x}{e^x}\le \frac{1}{e}$ より、
$y=A,y=\frac{x}{e^x}$ を考えて、
$0\le A\le \frac{1}{e}$ で異なる2つの実数解を持つ。

$x_1+x_2+...+x_k=n+k-1$ を満たす整数解の組み合わせが $a(n,k)$ 通りあるとすると、
$x_k$ の範囲は、 $x_l(l&lt;k)=1$ として $x_k=n$ より、 $1\le x_k \le j$ である。
今、 $x_1+x_2+...+x_k+x_{k+1}=j+(k+1)-1$ の解の個数を考えると、
先程の形に変形させれば求められるわけであるから、
$x_1+x_2+...+x_k=n+k-x_{k+1}$ の解は、
$j+k-1=n+k-x_{k+1}\iff x_{k+1}=n-j+1$ のとき、 $a(j,k)$ 通りである。
今、 $1\le x_{k+1} \le n$ であるから、 $1 \le j\le n$
よって $a(n,k+1)=\sum_{j=1}^n a(j,k)$

このように、同じ形にすることで解が導ける。

楕円と双曲線xy=k

楕円C: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ と、双曲線 $xy=k$ について、
二つが接する時の条件は、接点を(p,q)として、
(1)座標が一致すること(2)傾きが一致すること
より、
(1)より、 $\frac{p^2}{a^2}+\frac{q^2}{b^2}=1,pq=k$
(2)より、 $\frac{dy}{dx}=-\frac{b^2x}{a^2y}=-\frac{y}{x}$ から、 $-\frac{b^2p}{a^2q}=-\frac{q}{p}$
$\iff a^2q^2=b^2p^2,pq=k,b^2p^2+a^2q^2=a^2b^2$ より
$p=\frac{a}{\sqrt{2}},q=\frac{b}{\sqrt{2}},k=\frac{ab}{2}$
よって、 $k>\frac{ab}{2}$ のとき異なる２点で交わる

分離法

x^3+(1-2a)x+2=0$$のとき、
これは $x^3+x+2=2ax$ とも変形できるので、
この二つの線が接する点を考えればよい。
それは、 $f(t)=g(t),f&#039;(t)=g&#039;(t)$ となる点である。

円と放物線

ある直線と、それに対する放物線上の点との角度の最大値は、
この直線と点を含む円を考えれば、
この直線の長さが最大になるときが角度は最大となる。
したがって、円と放物線が接するときを考えればそれが最大である。

3次方程式

D≦0...1
D>0,f(α)f(β)>0...1
D>0,f(α)f(β)=0...2
D>0,f(α)f(β)<0...3

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最終更新：2012年04月22日 15:38

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