区分求積

1 \over nが出てきた場合、
\lim_{n\to\infty}{1 \over n}\sum_{k=1}^n f\left( {k \over n} \right)=\int_0^1 f(x)dx
を想起せよ。


\lim_{n\to\infty}{1 \over n}\sum_{k=1}^n f\left( {{k+1} \over n} \right)=\int_0^1 f(x)dx
の場合は、k+1=lと置き直して、
\lim_{n\to\infty}{1 \over n}\sum_{l=2}^{n+1} f\left( {l \over n} \right)=\int_0^1 f(x)dx




\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}
ここで、y=\frac{1}{x}のグラフを想起すると、
x=1より←側の求積<S<→側の求積 より、
\int_1^{n+1} \frac{1}{x} dx &lt;\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}&lt;1+\int_1^n \frac{1}{x} dx
\iff \log (n+1) &lt; \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}&lt;1+\log n




\sum_{k=1}^{n} \frac{x^k}{k}
ここで、
1+x+x^2+x^3+...+x^n=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}
\iff \int 1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^n dx =\int \frac {1}{1-x} - \frac{x^{n+1}}{1-x} dx
\iff x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + ... + \frac{x^{n+1}}{n+1}=-\log|1-x|-\int\frac{x^{n+1}}{1-x}dx
故に、
\sum_{k=1}^{n} \frac{x^k}{k}=-\log|1-x|-\int\frac{x^{n+1}}{1-x}dx


\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}
\int_0^1 \frac{x^n e^x}{n!}dxの一般化を利用して、
\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}=e

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最終更新:2012年01月29日 19:54
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