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∑1? > !の証明

I_n=\int_0^1 \frac{x^n}{n!}e^{-x}dxを式変形すると、
I_{n+1}-I_n=-\frac{e^{-1}}{(n+1)!}という階差数列が成り立つ。
これを解くと、I_n=-\frac{1}{e}+1-\frac{1}{e}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{(k+1)!}=1-\frac{1}{e}\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}
f(x)=\frac{x^n}{n!}e^{-x}は単調増加で、
f(0)=0,f(1)=\frac{e^{-1}}{n!}を満たしているので、
0 < f(x) < \frac{e^{-1}}{n!}\iff \int_0^1 0 < I_n < \int_0^1 \frac{e^{-1}}{n!}\iff 0 < I_n < \frac{e^{-1}}{n!}
より、
\lim_{n\to\infty} I_n=0は明白であるから、さきほどの式より、
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!} = eとわかる。

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最終更新：2012年09月01日 19:51
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