抽象関数

$F(a)\ge F(b)(a<b),F(x+n)=e^nF(x)$
を示すとき、
$F(x)\ge e^nF(x)\iff (1-e^n)F(x)\ge 0\iff F(x)\le 0$
したがって、 $F(c)\ge 0$ を満たすCがあれば、
それは $F(c)=0$ に他ならない。
このとき、 $0=F(c)\ge F(c+1)$ かつ $F(c+1)=eF(c)=0$ より、
$F(x)=0$

$f(xy)=f(x)+f(y),f(n+1)&gt;f(n)$ のとき、
(1) $y=\frac{1}{x}$ とすれば、
$f(1)=f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)$
また、x=y=1で、
$f(1)=f(1)+f(1)\iff f(1)=0$
故に、 $f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)=0$
(2)よって、a>1を満たす任意の有理数aについて、
$a=\frac{q}{p}(q>p)$ より、
$f(a)=f\left(\frac{q}{p}\right)=f(q)+f\left(\frac{1}{p}\right)=f(q)-f(p)>0$
(3)これのみならず、
0<a<bを満たすすべての有理数で、
今 $\frac{b}{a}>1\iff f\left(\frac{b}{a}\right)>0\iff f(b)-f(a)>0$
(4)また、
$f(xy)=f(\sqrt{xy}\cdot\sqrt{xy})=2f(\sqrt{xy})$ と表せる

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最終更新：2012年02月20日 16:38

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