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近似

接線による近似


(1+x)^n(|x|<<1)

f(x)=(1+x)^n
の近似式を考える。
f&#039;(x)=n(1+x)^{n-1}より、
f&#039;(0)=n
また、f(0)=1であることから、
x=0におけるf(x)の接線は
y=nx+1
よって、|x|&lt;&lt;1において、
(1+x)^n\simeq 1+nx
同様にして、
(1-x)^n\simeq 1-nx
以上より
(1\pm x)^n\simeq 1\pm nx(|x|&lt;&lt;1)

この公式から、有名な近似公式
\sqrt{1\pm x}\simeq 1\pm\frac{1}{2}x
が導き出される。

e^π

(1)
f(x)=e^xグラフ上で、(3,e^3)における接線を考えると、
y-e^3=e^3(x-3)\iff y=e^3x-2e^3より、
e^\pi&gt;e^3(\pi-2)&gt;(2.71)\times 3.14&gt;19.9\times 3.14&gt;22.6
(2)
e^\pi&gt;e^3 \cdot e^{\pi-3}
またe^{\pi-3}&gt;e^{0.14}&gt;e^{0.125}=e^{\frac{1}{8}}=\sqrt{\sqrt{\sqrt{e}}}
e^{\pi}&gt;21を証明するには、今e^3&gt;2.71^3&gt;19.9なので、
e^{\pi-3}&gt;\sqrt{\sqrt{\sqrt{e}}}&gt;\frac{21}{19.9}を示せばよい。
ここで、1.06&gt;\frac{21}{19.9}で、1.06^3=1.19&lt;eより題意は示された。

マクローリン展開

関数y=f(x)について、n次の有限マクロリーン展開は、
f(x)=\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^{k}
また、無限マクローリン展開は、
f(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^{k}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}

e^x=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}x^n
\sin x=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}
\cos x=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}

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最終更新：2013年06月30日 18:03
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