コンデンサー

極板に働く力

両極板がそれぞれ+Q,-Qに帯電している場合、
板には引力が働く。
今、+Qの電荷を帯びた板を固定する。このとき、
板に働く引力は以下の式であらわされる。

$F=QE_-=\frac{1}{2}QE=\frac{1}{2}\frac{Q^2}{\epsilon S}$

＜証明＞
極板は通常、外力によって固定されている。
これにさらに外力を加えることによって、極板の間隔は広がり、
逆に外力を弱めて静電気力を働かせることによって、極板の間隔は狭まる。
いま、極板間の距離が微小量 $\Delta d$ だけ変化したとすると、

$\Delta U=\frac{Q^2}{2C'}-\frac{Q^2}{2C}=\frac{Q^2}{2}{\left( \frac{d+\Delta d}{\epsilon S} -\frac{d}{\epsilon S}\left) = \frac{Q^2}{2\epsilon S}\Delta d$

$\Delta d>0$ のとき、 $\Delta U$ は加えた外力の仕事に等しく、
$\Delta d<0$ のとき、 $-\Delta U$ は静電気力の仕事に等しい。

また、ガウスの法則から、面積S,電荷Qであるとき、電界の大きさは、
$E=\frac{Q}{\epsilon S}$
と表されるので、電荷Qの板の片面における電場は
$E=\frac{1}{2}\frac{Q}{\epsilon S}$
であるので、極板に働く力は、
$F=QE=\frac{Q^2}{\epsilon S}$
と表されることでも示される。

なお、この値は常に成り立つものではなく、三つの極板を考えるときは別個に計算するほかない。

誘電体挿入時の外力

コンデンサーは、縦l,横aの長方形とする。
$C_o={\emsilon}_o\frac{la}{d}$
$x(0&lt;x&lt;a)$ だけ誘電体を挿入した時、コンデンサーの電気容量は
$C(x)={\epsilon}_o\frac{l(a-x)}d}+{\epsilon}_o{\epsilon}_r\frac{lx}{d}=\frac{({\epsilon}_r-1)x+a}{a}C_o$
これから、外力のする仕事を求める。
(1)
電源と接続されていないとき、
Q一定である。今、x=0からの外力の仕事は
$W_o=\Delta U=\frac{Q^2}{2}\Delta\frac{1}{C}=\frac{Q^2}{2}\left(\frac{a}{C_o\{ ({\epsilon}_r-1)x+a\}}-\frac{1}{C_o}\right)=-\frac{Q^2}{2C_o}\cdot \frac{({\epsilon}_r-1)x}{({\epsilon}_r-1)x+a}$
(2)
電源と接続されているとき、
V一定である。 $\Delta x$ だけ変化したとき、
$W_E=V\Delta Q=V^2\Delta C=\frac{C_oV^2}{a}({\epsilon}_r-1)\Delta x$
と電池の仕事は表されるので、
$W_E+W_o=\Delta U$
$\iff W_o=\Delta U-W_E=\frac{1}{2}V^2\Delta C-\frac{C_oV^2}{a}({\epsilon}_r-1)\Delta x=-\frac{1}{2}\cdot\frac{C_oV^2}{a}({\epsilon}_r-1)\Delta x$
よって、ゆっくりと内部に入れたとき、静電気力のする力Fは、
$F\Delta x=-W_o\iff F=\frac{C_oV^2}{2a}({\epsilon}_r-1)$

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最終更新：2012年08月31日 14:28

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