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水の投入

関数y=f(x)(0<x<a)をy軸周りに回転させてできた容器に水を入れる。

単位時間当たりの水の投入量をvとする。
水の高さがhのとき、その断面における円の半径をr、断面積をSとすると、
次の関係式が導かれる。
体積をVとして、
V=vt=\int_0^h\pi x^2dy=\int_0^h\{f^{-1}(y)\}^2dy...①
h=f(r)\iff r=f^{-1}(h)...②
S=\pi r^2=\pi\{f^{-1}(h)\}^2...③

①の式をtで微分すると、
v=\pi\{f^{-1}(h)\}^2\cdot \frac{dh}{dt}
\iff u_h(h)=\frac{dh}{dt}=\frac{v}{\pi\{f^{-1}(h)\}^2}
②の式より、
u_r(h)=\frac{dr}{dh}\cdot\frac{dh}{dt}=\{f^{-1}(h)\}'\cdot \frac{v}{\pi\{f^{-1}(h)\}^2}
③の式より、
u_s(h)=\frac{dS}{dt}=\frac{dS}{dh}\cdot\frac{dh}{dt}=2\pi f^{-1}(h)\cdot \{f^{-1}(h)\} '\cdot \frac{v}{\pi\{f^{-1}(h)\}^2} =\frac{2v}{f^{-1}(x)}\{f^{-1}(h)\}'

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最終更新：2012年07月07日 08:47
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