箱と球

以下、
(ア)４個の球を３個の箱に入れる場合
(イ)６個の球を４個の箱に入れる場合
(ウ)ｎ個の球をｍ個の箱に入れる場合

[1]区別のつく球を、区別のつく箱に入れる場合
各々の球が箱の数だけ選択肢を持っているので、
(ア) $3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=3^4=81$ 通り
(イ) $4^6=4096$ 通り
(ウ) $m^n$ 通り

[2]区別のつかない球を、区別のつく箱に入れる場合
これは要するに、球を個数で箱分だけ区別したに等しい。よって
(ア)「○○○○||」より、 $_6C_2=15$ 通り
(イ)「○○○○○○|||」より、 $_9C_3=84$ 通り
(ウ)「○×n,|×(m-1)」より、 $_{n+m-1}C_{m-1}$ 通り

[3]区別のつかない球を、区別のつかない箱に入れる場合
これは個数によってのみ区別されることを意味するから、
(ア)(4,0,0)(3,1,0)(2,2,0)(2,1,1)より4通り
(イ)(6,0,0,0)(5,1,0,0)(4,2,0,0)(4,1,1,0)(3,3,0,0)(3,2,1,0)(3,1,1,1)(2,2,2,0)(2,2,1,1)より9通り
(ウ) $a_1+a_2+...+a_m=n(a_1\ge a_2\ge ...\ge a_m=0)$ を満たす $(a_1,a_2,...,a_m)$ の組み合わせを数え上げ

[4]区別のつく球を、区別のつかない箱に入れる場合
基本的には個数によって場合分けだが、個数が異なる時はどれを入れるのか、等しいものがあるときには重複分を割るなどの注意を払う。
(p,q,q,r,0)(p>q>r)と区分されるのであれば、 $_{p+2q+r}C_p\cdot \frac{_{2q+r}C_{q} \cdot _{q+r}C_q}{2!} \cdot _rC_r$ 通りとなる。

(ア)(4,0,0)→ $_4C_4=1$ 通り,(3,1,0)→ $_4C_3=4$ 通り,(2,2,0)→ $\frac{_4C_2}{2!}=3$ 通り,(2,1,1)→ $_4C_2\cdot \frac{_2C_1}{2!}=6$ 通りより14通り
(ウ)[3]の方法で個数を数え上げた後、何を選ぶのか、個数の重複を割る、の二つで整理する。

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最終更新：2012年07月21日 14:10

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