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三次方程式の性質

f(x)=ax^3+bx^2+cx+d(a\ne 0)を考える。
(1)
変曲点をP(x=p)とすると、
f''(p)=0\iff p=-\frac{b}{3a}
いま、
f(p-\alpha)+f(p+\alpha)=2f(p)+2{\alpha)^2(3ap+b)=2f(p)
\iff f(p)=\frac{f(p-\alpha)+f(p+\alpha)}{2}より、
変曲点Pを中心に点対称としていることがわかる。
(2)
A(x=t)における接線は、
y-f(t)=f'(t)(x-t)\iff y=(3at^2+2bt+c)x-2at^3-bt^2+d
今、この接戦をy=g(x)とすると、
f(x)=g(x)
\iff ax^3+b^2+(-3at^2-2bt)x+2at^3+bt^2=0
\iff (x-t)^2(ax+2at+b)=0
\iff x=-2t-\frac{b}{a}
よって、Bのx座標はx=-2t-\frac{b}{a}
同様に、Bにおける接線との交点Cを考えると、
Cのx座標はx=-2(-2t-\frac{b}{a})-\frac{b}{a}=4t+\frac{b}{a}

よって、
x_p=-\frac{b}{3a},x_a=t,x_b=-2t-\frac{b}{a},x_c=4t+\frac{b}{a}
だから、
|BP|:|PA|:|AC|=2\left|t+\frac{b}{3a}\right|:\left|t+\frac{b}{3a}\right|:3\left|t+\frac{b}{3a}\right|=2:1:3

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最終更新：2012年08月23日 10:34
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