第3宇宙速度計算

以下では、

と仮定する。また、
$m$ :飛行物体の質量 $M_E$ :惑星の質量 $M_S$ :恒星の質量
$R_E$ :惑星の半径 $R_O$ :惑星の公転半径
とする。

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初めに、太陽を中心とする重量系を考える。
地球から打ち上げて、太陽系外まで飛んでゆく速度であるから
まずは地球の公転円上から太陽の重力を振り切れる速度は
${1 \over 2} m{v_S}^2 - {GM_S m \over R_O} = 0$

$\iff v_S = \sqrt{2GM_S \over R_O}$

また、惑星の公転速度は
${M_E{v_E}^2 \over R_O} = {GM_S M_E \over {R_O}^2}$

$\iff v_E = \sqrt{GM_S \over R_O}$

よって動点である惑星を中心とする重量系から見たとき
求める速度は $v_{ES}=v_S -v_E = \left( \sqrt{2} -1 \right)\sqrt{GM_S \over R_O}$

しかし、実際には惑星は質量と大きさ(=半径)を持つ。よって、
惑星を中心とする質量系において無限遠にいたった時、その速度が $v_{ES}$ であればよいから、
${1 \over 2} m{v_3}^2 - {GM_E m \over R_E} = {1 \over 2}m{v_{ES}}^2$

$\iff v_3=\sqrt{{2GM_E \over R_E} + {v_{ES}}^2$

$\iff v_3=\sqrt{G \left( {2M_E \over R_E} +(3-2 \sqrt{2}){M_S \over R_O} \right) }$

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最終更新：2012年01月07日 20:43

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