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微分方程式


変形分離形

\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)
\iff \frac{1}{g(y)}\cdot \frac{dy}{dx}=f(x)
\iff \int \frac{1}{g(y)} dy=\int f(x)dx
これを解くと答えが導かれる
ex)
y'=\frac{y}{x}
\iff \frac{1}{y}dy=\frac{1}{x}dx
\iff \int \frac{1}{y}dy=\int \frac{1}{x}dx
\iff \log y=\log x+c
\iff y=e^c x
\iff y=Cx

同次形

\frac{dy}{dx}=f\left( \frac{y}{x} \right)
\frac{y}{x}=zとすると
y=xz
\iff \frac{dy}{dx}=z+x\frac{dz}{dx}
よって、
z+x\frac{dz}{dx}=f(z)
\iff x\frac{dz}{dx}=f(z)-z
\iff \frac{1}{x}dx=\frac{1}{f(z)-z}dz

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最終更新：2013年03月27日 21:44
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