統計学

確率

$P(\{ \omega | X(\omega )\le x , Y(\omega )\le y \} )$

公理

$0\le P(A)\le 1$
$P(\Omega)=1$
$P(\phi)=0$
$P(A^c)=1-P(A)$
$A\subset B$ ならば $P(A)\le P(B)$
$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

$A_i\cap A_j=\phi$ なら(互いに排反なら)
$P\left( \bigcup_{k=1}^\infty A_k \right) =\sum_{k=1}^\infty P(A_k)$

確率の検算

確率であるためには、
$p(k)\ge 0$
$\sum_{k=0}^n p(k)=1$

条件付き確率

$P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$
$A\perp B$ のとき、 $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ より、
$P(B|A)=P(B)=P(B|A^c)$
また、一般的に独立の条件は
$P\left( \bigcap_{k=1}^n A_{ik} \right)=\prod_{k=1}^n P(A_{ik})$

ベイズの公式

$P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B|A)P(A)+P(B|A^c)P(A^c)}$

関数

分布関数(CDF)

$F(x)=P(X\le x)$

確率母関数(PGF)

$G(z)=\sum_{i=0}^\infty p_iz^i$

確率密度関数(PDF)

$f(x)=F&#039;(x)$

同時分布関数

$F_{X,Y}(x,y)=P(X\le x,Y\le y)$

たたみこみ

$P(X+Y=x)=\sum_{s} P(X=s)P(Y=x-s)$
$f_{X+Y}(x)=\int_{-\infty}^{\infty} f_X(s)f_Y(x-s)ds$

平均(期待値)・分散

離散型

$P(X=x_i)=p(x_i)$ と書く。

$\mu =E(x)=\sum_i x_i p(x_i)$
$\sigma ^2=V(x)=\sum_i (x_i -\mu)^2 p(x_i) = \sum_i {x_i}^2 p(x_i)-{\mu}^2$
$\mu=G'(1),\sigma^2=G''(1)+G'(1)-\{G'(1)\}^2$

連続型

$\mu =E(x)=\int_{-\infty}^\infty xf(x)dx$
$\sigma^2=V(x)=\int_{-\infty}^\infty (x-\mu)^2 f(x)dx$

共通事項

確率変数 $X,Y$ と定数 $\alpha,\beta$ について
$E(\alpha X+\beta )=\alpha E(X)+\beta$
$V(\alpha X+\beta )=\alpha^2 V(X)$
$E(\alpha X +\beta Y+\gamma)=\alpha E(X)+\beta E(Y)+\gamma$

独立確率変数

$X_k$ を独立確率変数として、
$E\left( \prod_{k=1}^n X_k \right) =\prod_{k=1}^n E(X_k)$
$V \left( \sum_{k=1}^n X_k \right)=\sum_{k=1}^n V(X_k)$

共分散

$Cov (X,Y) = E( (X-E(X)) (Y-E(Y)) )=E(XY)-E(X)E(Y)$
確率変数 $X,Y$ が独立の時、 $Cov (X,Y)=E(X)E(Y)-E(X)E(Y)=0$ となるが、
仮に、 $Cov(X,Y)=0$ であっても、
$P(X\le x,Y\le y)=P(X\le x)P(Y\le y)$ は必ずしも成り立たず、独立であるとは言えない。

離散分布

二項分布(B(n,p))

X		a	b		total
P		p	1-p		1

が成り立つとき、

確率変数Xは二項分布に従う
$X\sim B(n,p)$

$P(X=k)=\left( \begin{array}{c} n\\k \end{array}\right) p^k(1-p)^{n-k}(0\le k\le n)$

平均: $np$
分散: $np(1-p)$

ポアソン分布(Po(λ))

$X\sim B(n,p)$
のときで、 $k&lt;&lt;n$ のとき、
$nP(X=k)=\lambda$ であれば、

確率変数Xはポアソン分布に従う
$X\sim P_o(\lambda)$

$P(X=k)=\frac{n!}{(n-k)!k!} p^k(1-p)^{n-k} \simeq e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$

平均: $\lambda$
分散: $\lambda$

連続分布

正規分布(N(μ,σ^2))

確率変数Xは正規分布に従う
$X\sim N(\mu,\sigma^2)$

$\mu\in R,\sigma>0$ であり、理論的に
$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}exp\left( -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} \right)$

相似性

$X\sim N(\mu,\sigma^2)$ のとき、
$Y=\alpha X+\beta \sim N(\alpha\mu +\beta,\alpha^2 \sigma^2)$

標準化

$X\sim N(\mu,\sigma^2)$ のとき、
$Z=\frac{X-\mu}{\sigma} \sim N(0,1)$

再生性

$X\sim N(\mu_1,{\sigma_1}^2),Y\sim(\mu_2,{\sigma_2}^2)$ のとき、
$X+Y\sim N(\mu_1+\mu_2, {\sigma_1}^2+{\sigma_2}^2)$

指数分布(Ex(λ))

確率変数Xは指数分布に従う
$X\sim Ex(\lambda)$

$f(x)=\left\{ \begin{array}{c} 0 (x<0) \\ \lambda e^{-\lambda x} (x\ge 0) \end{array}$

その他

ベータ関数

$\Beta (x,y)=\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt$

ガンマ関数

$\Gamma (x)=\int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}dt$

カイ二乗分布

$X_i \sim N(\mu,{\sigma_i}^2)$
のとき、
$\sum_{k=1}^n\left( \frac{X_i-\mu_i}{\sigma_i} \right)^2 \sim \chi_{n-1}$
が成り立つ。

相関係数(ρ(X,Y))

$\rho (X,Y)=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{V(X)} \sqrt{V(Y)}}$

極限定理

nが大きい時、
$\mu\simeq \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n X_k$
となる。これは次の式によって示される。
$\lim_{n \rightarrow \infty} P\left( \left| \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n X_k -\mu \right| > \epsilon \right) = 0$
ただし、 $0 < \epsilon << 1$
これはチェビシェフの定理から示される。
$P(|X-\mu| >c) \le \frac{\sigma^2}{c^2}$

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最終更新：2014年02月16日 18:38

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