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力学

http://www.buturigaku.net/main01/WorkEnergy/WorkEnergy15.html

運動方程式

すべての運動は次の式で表される。
$ma=F$
m:質量,a:加速度,F:力

エネルギー

運動エネルギー

運動エネルギーは次の式で表される。
$K=\frac{1}{2}mv^2$

位置エネルギ

位置エネルギーは種類によって変わる。

重力による位置エネルギー	$U=mgh$
バネによる位置エネルギー	$U=\frac{1}{2}kx^2$
万有引力による位置エネルギー	$U=-G\frac{Mm}{R}$
クーロン力による位置エネルギー	$U=k\frac{Qq}{r}$

保存則

力学的エネルギー保存則

外力が働かないとき、力学的エネルギーは保存される。
$\frac{1}{2}m{v_o}^2+U_o=frac{1}{2}m{v_1}^2+U_1$

運動量保存則

外力が働かないとき、運動量は保存される。
$mv_o+MV_o=mv_1+MV_1$

仕事

仕事は次の式で表される。
$W=Fx$
W:仕事量,F:力,x:力の方向に沿った距離
このことから、重力による仕事、つまり位置エネルギーは
$U=mgh$ と表される。

摩擦

静止摩擦係数を $\mu$ ,動摩擦係数を $\mu '$ とすると
$\mu > \mu '$

静止摩擦

$f \le \mu N$

動摩擦

$f = \mu' N$

ばね運動

$ma=kx+b$
と表せるとき、
$T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$

運動量保存の法則
力学的エネルギー保存則(e=1)
反射率(0<e<1)

この３つですべて求められる。

球の斜面への自由落下

斜面の鉛直方向にy軸をとってかんがえると、
どのような角度の斜面に自由落下させた場合でも、
y軸に対する加速度を $a$ ,跳ね返り係数を $e$ とすると、
１回目に斜面に衝突する直前の速度のy成分を $v_0_e=-v_o$ として、
１回目に斜面に衝突した直後の速度のy成分は $v_1=ev_o$ となり、
２回目に斜面に衝突する直前の速度のy成分は $v_1_e=-ev_o$ となり、
２回目に斜面に衝突した直後の速度のy成分は $v_2=e^2v_o$ となり、
…
これを繰り返していくと帰納的に、
$v_n=e^nv_o$ が成立する。
このことから、n回目に斜面に衝突した直後から、n+1回目に斜面に衝突する直前までの時間は、
$t_n=\frac{2v_n}{a}=\frac{2e^nv_o}{a}$
これより、
$t_{n+1}=ev_n$
と表せるので、
球が跳ねなくなるまでの時間は、 $t_0=t_o$ と表すと、 $t_1=2et_o$ より、
$T=\sum_{k=0}^\infty t_k=t_o+2t_o\sum_{k=1}^\infty e^k=t_o+\frac{1}{1-e}2t_o=\frac{3-e}{1-e}t_o$

物体が制止する条件

物体が制止するためには、次の二条件を満たす必要がある。

(1)滑らないので、摩擦力fについて、
$f\le\mu N$
(2)傾かないので、垂直効力Nと、モーメントの中心からNまでの距離xについて、
$N\cdot x\ge 0$

これを用いて、
横a,縦bの長さの物体を、水平面からΘの角度の斜面においたとき、
静止摩擦力をf,垂直抗力をNとすると、
<力の釣り合い>
$f=mg\sin\theta$
$N=mg\cos\theta$
<モーメントの釣り合い>
$mg\cos\theta \cdot \frac{a}{2} = mg\sin\theta \cdot \frac{b}{2} +N\cdot x$
$\iff N\dot x=\frac{mg}{2}(a\cos\theta-b\sin\theta)$
$\mu$ を最大静止摩擦係数とすると、
滑らない: $f=mg\sin\theta<\mu mg\cos\theta\iff \tan\theta\le \mu$
転ばない: $N\cdot x=\frac{Mg}{2}(a\cos\theta-b\sin\theta)>0\iff \tan\theta<\frac{a}{b}$
よって、
滑るが転ばない: $\mu <\tan\theta<\frac{a}{b}$
頃部が滑らない: $\frac{a}{b} <\tan\theta<\mu$

物体の跳ね返り条件

物体A(質量m,速度v)と、物体R(質量M,速度V)を考えるとき、
跳ね返り係数の条件式と運動量保存則から、次の2式が成立する。
$(-e)(v_o-V_o)=v-V$
$mv_o+MV_o=mv+MV$
これをvについて解くと、
$v=\frac{(m-eM)v_o+(1+e)MV_o}{m+M}$
跳ね返るということは、 $v_o&gt;0$ としたとき $v&lt;0$ となるはずである。
よって、 $v<0\iff (m-eM)v_o+(1+e)MV_o<0$
$V_o=0$ であれば、 $m&lt;eM$ が成り立ち、
さらに $e=1$ の弾性衝突であれば $m&lt;M$ が条件である。

両端に物体のつながったばね

左側に物体Ａ(質量m)、右側に物体Ｂ(質量M)を接続したばね(ばね定数k,自然長l)がある。
はじめ、この物体は静止しているとする。
まず、この物体に物体Ａ側から運動量Ｐで力を加える。
このとき、
(1)
運動量保存則から、 $P=mv_a+Mv_b$
(2)
重心の式は、 $x_G=\frac{mx_a+Mx_b}{m+M}$
両辺をtで微分すると、 $v_G=\frac{mv_a+Mv_b}{m+M}$
(1)(2)より、 $v_G=\frac{P}{m+M}$ となり、
重心速度は一定だとわかる。

次に、重心より左側のばね定数を $k_a$ とすると、
$kl=k_a\frac{M}{m+M}l\iff k_a=\frac{m+M}{M}k$
同様に右側は $k_b=\frac{m+M}{M}k$ となる

重心より左側について、重心に対する相対加速度を $a_{AG}$ とすると、
$ma_{AG}=-k_ax$
$\iff T=2\pi\frac{m}{k_a}=\2\pi\frac{mM}{(m+M)k}$
よって、
$x_{AG}=d\sin\frac{2\pi}{T}t$
$v_{aG}=d\frac{2\pi}{T}\cos\frac{2\pi}{T}t$
$v_a=v_G+v_{AG}$

また、右側についても、
$ma_{BG}=-k_bx$
$\iff T=\frac{mM}{(m+M)k}$
より、右側と周期は一致するので、
$x_{BG}=-D\sin\frac{2\pi}{T}t$
$v_{bG}=-D\frac{2\pi}{T}\cos\frac{2\pi}{t}t$

力学の諸計算

適応時間	物体範囲	成立条件	法則
長期変化	全体	軸方向の外力=0	力学的エネルギー保存則
長期変化	全体	e=1	運動量保存則
瞬間変化	部分	軸方向の外力=0	部分的な運動量保存則
瞬間変化	部分		跳ね返り定数の関係式

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最終更新：2013年03月24日 15:11

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