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式式

(33.28)から
$\sum\varepsilon(\boldsymbol{k})n_k, n_k = 0,1,2,...,$ (33.28)
$n(\boldsymbol{k}) = \langle n_{k} \rangle = \frac{1}{\exp( \varepsilon (\boldsymbol{k})/k_{B}T)-1}$ (33.29)
$M(T) = M(0)[1-\frac{1}{NS}\sum\limits_{\boldsymbol{k}} n(\boldsymbol{k}) ]$ (33.30)
$\varepsilon(\boldsymbol{k}) = 2S\sum\limits_{\boldsymbol{R}}J(\boldsymbol{R})\sin^2(\frac{1}{2}\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{R})$ (33.32)
$\varepsilon(\boldsymbol{k}) \approx\frac{S}{2}\sum\limits_{\boldsymbol{R}}J(\boldsymbol{R})(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{R})^2$ (33.33)
$M(T) = M(0)[1-\frac{V}{NS}(k_{B} T)^\frac{3}{2} \int \frac{d\boldsymbol{q}}{(2\pi)^3}\{\exp[S\sum\limits_{R} J(\boldsymbol{R})\frac{(\boldsymbol{q \cdot R})^2}{2}]-1\}^{-1}]$ (33.34)
$\chi (T) = \frac{g\mu_B}{V}\frac{\partial}{\partial H} \langle \sum\limits_{\boldsymbol{R}}S_z(\boldsymbol{R})\rangle|_{H=0} = \frac{1}{V}\frac{1}{k_{B}T}(g\mu_B)^2 \langle[\sum\limits_{\boldsymbol{R}}S_z(\boldsymbol{R})]^2\rangle_{H=0}$ (33.35)
$\langle X \rangle_{H=0} = \frac{\sum\limits_{\alpha}\langle\alpha|X|\alpha\rangle e^{-\beta E_\alpha}}{\sum\limits_{\alpha} e^{-\beta E_\alpha}} = \frac{TrXe^{-\beta H_0}}{Tre^{-\beta H_0}}$ (33.36)
$H_0 = -\frac{1}{2} \sum\limits_{\boldsymbol{R} \neq \boldsymbol{R}} J(\boldsymbol{R}-\boldsymbol{R'}) \boldsymbol{S}(\boldsymbol{R}) \cdot \boldsymbol{S}(\boldsymbol{R'})$
$\langle[\sum\limits_{\boldsymbol{R}}S_z(\boldsymbol{R})]^2\rangle = \sum\limits_{\boldsymbol{R,R'}}\Gamma (\boldsymbol{R,R'})$ (33.38)
$\Gamma (\boldsymbol{R,R'}) = \langle \boldsymbol{S}_z (\boldsymbol{R})\boldsymbol{S}_z (\boldsymbol{R'}) \rangle_{H=0}$ (33.39)

$\langle \boldsymbol{S}_z (\boldsymbol{R})\boldsymbol{S}_z (\boldsymbol{R'}) \rangle_0 = \langle \boldsymbol{S}_z (\boldsymbol{R}) \rangle_0 \langle \boldsymbol{S}_z (\boldsymbol{R'}) \rangle_0 = 0, \boldsymbol{R} \neq \boldsymbol{R'}$ (33.40)
$\langle \boldsymbol{S}_z (\boldsymbol{R})\boldsymbol{S}_z (\boldsymbol{R'}) \rangle_0 = \frac{1}{3} \langle (\boldsymbol{S} (\boldsymbol{R}))^2 \rangle_0 = \frac{1}{3}S(S+1)$

$\langle \boldsymbol{S}_z (\boldsymbol{R})\boldsymbol{S}_z (\boldsymbol{R'}) \rangle_0 = \frac{1}{3}S(S+1)\delta_{\boldsymbol{R,R'}}$

$e^{-\beta H_0} = 1-\beta H_0 + O(\beta H_0)^2$

$\Gamma (\boldsymbol{R,R'}) \approx \frac{\frac{1}{3}S(S+1) \delta_{\boldsymbol{R,R'}} - \beta \langle \boldsymbol{S}_z (\boldsymbol{R})\boldsymbol{S}_z (\boldsymbol{R'}) H_0 \rangle_0 }{1-\beta\langle H_0 \rangle_0}$
$\langle \boldsymbol{S}(\boldsymbol{R}) \cdot \boldsymbol{S}(\boldsymbol{R'}\rangle_0 = 0, \boldsymbol{R} \neq \boldsymbol{R'}, \langle H_0 \rangle = 0$

$\beta \frac{1}{2} \sum \limits_{\boldsymbol{R_1 , R_2}} J(\boldsymbol{R_1} - \boldsymbol{R_2}) \langle \boldsymbol{S}_z (\boldsymbol{R_1})\boldsymbol{S}_z (\boldsymbol{R_2})\boldsymbol{S} (\boldsymbol{R_1})\cdot\boldsymbol{S} (\boldsymbol{R_2})\rangle_0$
$\beta J(\boldsymbol{R} - \boldsymbol{R'})\sum\limits_{\mu = x,y,z} \langle \boldsymbol{S}_z (\boldsymbol{R})\boldsymbol{S}_\mu (\boldsymbol{R})\rangle_0 \langle \boldsymbol{S}_z (\boldsymbol{R'})\boldsymbol{S}_\mu (\boldsymbol{R'})\rangle_0$

$\beta J(\boldsymbol{R} - \boldsymbol{R'}) \langle \boldsymbol{S}_z ^2 (\boldsymbol{R})\rangle_0 \langle \boldsymbol{S}_z ^2 (\boldsymbol{R'})\rangle_0 = \beta J(\boldsymbol{R} - \boldsymbol{R'})(\frac{S(S+1)}{3})^2$

$\Gamma(\boldsymbol{R,R'}) = \frac{S(S+1)}{3}[\delta_{\boldsymbol{R,R'}} + \frac{S(S+1)}{3}\beta J(\boldsymbol{R} - \boldsymbol{R'}) + O(\beta J)^2]$

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最終更新：2009年09月18日 21:55

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