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面積

$\lim_{n \rightarrow\infty}2^nl(n)=2\pi$

定義 20
曲線区間 $I=[a,\ b]$ から $xy$ 平面 $\mathbb{R}^2$ への写像を曲線 $C$ という． $t\in I$ に対応する点 $\mathrm{P}(t)$ を，二つの関数 $\varphi(t)$ と $\psi(t)$ を用いて $(\varphi(t),\ \psi(t))$ と表す．関数 $\varphi(t)$ と $\psi(t)$ が連続であるとき $C$ を連続曲線という． $\varphi(t)$ と $\psi(t)$ が微分可能であるとき $C$ を微分可能曲線という．

$C$ は $\mathbb{R}^2$ の点 $\mathrm{P}(t)$ の集合

$\begin{displaymath} C=\{\ \mathrm{P}(t)\ \vert\ \mathrm{P}(t) =(\varphi(t),\ \psi(t)),\ t \in [a,\ b]\ \} \end{displaymath}$

である．また変数と区間を明示するときは $C(t)\ (a\le t \le b)$ のようにも表すものとする．

曲線の長さ
二点 $\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$ ， $\mathrm{Q}(x_2,\ y_2)$ に対して線分 $\mathrm{PQ}$ の長さが

$\begin{displaymath} \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} \end{displaymath}$

で定義されているとする．これをもとに，曲線の長さを定義しよう．

定義 21 (曲線の長さ)
区間 $I$ の分割を

$\begin{displaymath} a=t_0<t_1<\cdots<t_n=b \end{displaymath}$

とする．この分割を $\lambda$ と書く．

   曲線$C$上の点 を と表す．これによって2点 と を端点とする折れ線 ができる．この長さをとする．

$\begin{displaymath} L(\lambda)=\sum_{i=0}^{n-1}\mathrm{P}(t_i)\mathrm{P}(t_{i+1}) \end{displaymath}$
$L(C)$ を $\lambda$ が区間 $[a,\ b]$ のすべての分割を( $n$ も変化して)動くとき $L(\lambda)$ の上限

$\begin{displaymath} L(C)=\sup_{\lambda}L(\lambda) \end{displaymath}$

が存在すればそれを曲線 $C$ の長さと定義する． ■

分割の小区間 $[t_{i-1},\ t_i]$ をさらに分割して $[t_{i-1},\ s],\ [s,\ t_i]$ とする．三角形 $\mathrm{P}(t_{i-1})\mathrm{P}(s)\mathrm{P}(t_i)$ における三角不等式から

$\begin{displaymath} \mathrm{P}(t_{i-1})\mathrm{P}(t_i)\le \mathrm{P}(t_{i-1})\mathrm{P}(s)+ \mathrm{P}(s)\mathrm{P}(t_i) \end{displaymath}$

が成立する．したがって分割の細分に対して $L(\lambda)$ は単調に増加する．

定理 61
区間 $I=[a,\ b]$ を定義域とする二つの関数 $\varphi(t)$ と $\psi(t)$ は区間 $I$ で連続， $I$ に含まれる任意の開区間で微分可能である．さらに， $t\in I$ に対して

$\begin{displaymath} (\varphi'(t),\ \psi'(t))\not =\overrightarrow{0} \end{displaymath}$

である．このとき曲線 $C(t)\ (a\le t \le b)$ は長さ $L(C)$ が定まり， $L(C)$ の値は

$\begin{displaymath} L(C)=\int_a^b\sqrt{\varphi'(t)^2+\psi'(t)^2}\,dt \end{displaymath}$

で与えられる． ■

証明
1. 折れ線の長さ $L(\lambda)$ が有界であることを示す．区間の分割 $\lambda$ をとる． $\varphi'(t),\ \psi'(t)$ は閉区間で連続であるから有界で一様連続である．区間 $I$ で $\left\vert\varphi'(t) \right\vert\le M,\ \left\vert\psi'(t) \right\vert\le M$ とする．分割 $\lambda$ の小区間 $[t_i,\ t_{i+1}]$ で平均値の定理を用いる．この小区間内の点 $\zeta_i,\ \xi_i$ が存在して

$\begin{eqnarray*} \mathrm{P}(t_i)\mathrm{P}(t_{i+1}) &=&\sqrt{(\varphi(t_{i+1})-... ...qrt{\varphi'(\zeta_i)^2+\psi'(\xi_i)^2}\le\sqrt{2}M(t_i-t_{i+1}) \end{eqnarray*}$

よって

$\begin{displaymath} L(\lambda) =\sum_{i=0}^{n-1}\mathrm{P}(t_i)\mathrm{P}(t_{i+1}) \le\sum_{i=0}^{n-1}\sqrt{2}M(t_i-t_{i+1})=\sqrt{2}M(b-a) \end{displaymath}$

よって $L(\lambda)$ には上限が存在し，曲線 $C$ は長さ $L(C)$ をもつ．
2. 次に $L(C)$ が定積分で与えられることを示す．

まず， $\sqrt{\varphi'(t)^2+\psi'(t)^2}$ は連続であるから積分可能である．

次に正数 $\epsilon$ を任意に定める．

$\varphi'(t),\ \psi'(t)$ の一様連続性から区間の任意の $s$ と $t$ に対して

$\begin{displaymath} \left\vert t-s \right\vert<\delta\quad \Leftarrow \left\ver... ...t<\epsilon,\ \left\vert\psi'(t)-\psi'(s) \right\vert<\epsilon \end{displaymath}$

となる正数 $\delta$ が存在する．

曲線の長さ $L(C)$ と定積分がそれぞれ存在するので，分割を十分細かく，かついずれの小区間の幅も $\delta$ より小さくとって

$\begin{eqnarray*} &&0\le L(C)-L(\lambda) =L(C)-\sum_{i=0}^{n-1}\mathrm{P}(t_i)\m... ...t_{i+1})\sqrt{\varphi'(t_i)^2+\psi'(t_i)^2}\right\vert <\epsilon \end{eqnarray*}$

とすることができる．そこで

$\begin{eqnarray*} &&\left\vert L(C)-\int_a^b\sqrt{\varphi'(t)^2+\psi'(t)^2}\,dt ... ...'(t_i)^2}-\int_a^b\sqrt{\varphi'(t)^2+\psi'(t)^2}\,dt\right\vert \end{eqnarray*}$

において第二の項を評価する．

一般に4実数 $a,\ b,\ c,\ d$ に対して次の不等式が成り立つ．

$\begin{displaymath} \left\vert\sqrt{a^2+b^2}-\sqrt{c^2+d^2}\right\vert\le \sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}\le\vert a-c\vert+\vert b-d\vert \end{displaymath}$

第一の不等式は三点 $\mathrm{O},\ \mathrm{A}(a,\ b),\ \mathrm{B}(c,\ d)$ に対する三角不等式 $\left\vert\mathrm{OA}-\mathrm{OB} \right\vert\le \mathrm{AB}$ である．さらに両辺平方すれば明らかなように $\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}\le\vert a-c\vert+\vert b-d\vert$ である．上記不等式はこれから従う．

この結果，先の小区間での平均値の定理とあわせて

$\begin{eqnarray*} &&\left\vert L(\lambda)-\sum_{i=0}^{n-1}(t_i-t_{i+1})\sqrt{\va... ...\}\\ &\le&\sum_{i=0}^{n-1}2\epsilon(t_i-t_{i+1})=2\epsilon(b-a) \end{eqnarray*}$

よって，

$\begin{displaymath} \left\vert L(C)-\int_a^b\sqrt{\varphi'(t)^2+\psi'(t)^2}\,dt \right\vert <\epsilon+2\epsilon(b-a)+\epsilon \end{displaymath}$

$\epsilon$ は任意の正数なので

$\begin{displaymath} L(C)=\int_a^b\sqrt{\varphi'(t)^2+\psi'(t)^2}\,dt \end{displaymath}$

が示された． □

系 61.1
関数 $y=f(x)$ のグラフの $x=a$ から $x=b$ までの長さ $L$ は

$\begin{displaymath} L=\int_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\,dx \end{displaymath}$

で与えられる． ■

証明グラフは $(t,\ f(t))$ で表されるので，定理61より明らかである． □

円周の長さ
これによって円周の長さの存在が示される．円は1点からの距離が一定であるような点 $\mathrm{P}$ の集合である． $xy$ 平面で考え中心が $\mathrm{O}$ 半径 $r$ の半円周上の点 $\mathrm{P}$ は $\mathrm{P}(t,\ \sqrt{r^2-t^2})$ と表され，連続かつ微分可能である．したがって半円周の長さが存在することがわかる．したがって円の弧長をもとにした三角関数も循環論法に陥ることなく定義される．また，曲線の長さの定義から，

$\begin{displaymath} 内接する多角形の辺長の和の上限 =円周の長さ \end{displaymath}$

となる．このとき「外接する多角形の辺長の和の下限」も存在し円周の長さに一致することがわかる．
<math>\lim_{n \rightarrow\infty}2^n\cdot 2(\sqrt{(1-\sqrt{1-x^2})^2+x^2}-x)
\,</math>

<math>=\lim_{n \rightarrow\infty}2^n\cdot 2\frac{(1-\sqrt{1-x^2})^2+x^2-x^2}{\sqrt{(1-\sqrt{1-x^2})^2+x^2}+x}
\,</math>

<math>=\lim_{n \rightarrow\infty}2^n\cdot 2\frac{1-2\sqrt{1-x^2}+(1-x^2)}{(\sqrt{(1-\sqrt{1-x^2})^2+x^2}+x)}
\,</math>

<math>=\lim_{n \rightarrow\infty}2^n\cdot 2\frac{2-x^2-2\sqrt{1-x^2}}{(\sqrt{(1-\sqrt{1-x^2})^2+x^2}+x)}
\,</math>

<math>=\lim_{n \rightarrow\infty}2^n\cdot 2\frac{(2-x^2)^2-4(1-x^2)}{(\sqrt{(1-\sqrt{1-x^2})^2+x^2}+x)(2-x^2+
2\sqrt{1-x^2})}
\,</math>

<math>=\lim_{n \rightarrow\infty}2^n\cdot\frac{1}{2}\frac{x^4}{(\sqrt{(1-\sqrt{1-x^2})^2+x^2}+x)}
\,</math>

<math>=\lim_{n \rightarrow\infty}2^n\cdot\frac{1}{2}
\frac{x^4}{\sqrt{(\frac{1-\sqrt{1-x^2}}{1+\sqrt{1-x^2}})^2+x^2}+x}
\,</math>

円の面積

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最終更新：2010年04月04日 01:43

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