コブダグラス関数、CES関数 - 経済学メモ

ここでは、生産関数や効用関数などとして使われるコブダグラス関数と、
コブダグラス関数を一般化したCES関数の基本性質について紹介する。

• コブダグラス関数
• CES関数

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コブダグラス関数

を正の定数としたとき、の形で表される関数をコブダグラス関数という。
両辺の対数をとると、と対数の線形関数になる。

コブダグラス関数の形の生産関数はY:生産量、K:資本、L:労働として、
という形で表される。コブダグラス関数型なのでである。
資本と労働を1単位ずつ投入したときには、だけ生産される。
ここでYの単位をAにすれば、とすることができる。
このようなプロセスを正規化や標準化と言ったりする。

ここでKとLがk倍されたとすると、となる。
のとき、であるので…①となる。
同様にのとき、であるので…②となり、
のときは、より…③となる。
①のときを規模に関して収穫逓増と呼び、②の場合を規模に関して収穫逓減と呼ぶ。
③の場合は規模に関して収穫一定と呼び、このときこの生産関数は1次同次である。
よりであるので、と表記できる。

CES関数

生産量Y、資本K、労働LとするとCES生産関数は、と表される。
このCES関数はコブダグラス関数を含んだより一般的な関数となっている。
CESとはconstant elasticity of substitutionの略で、「代替の弾力性が一定」という意味である。

CES関数は様々な関数を含んだ一般的な関数であるので、σの値によって様々な関数型になりうる。
のとき、となって線形関数となる。

のとき、右辺の対数をとるととなる。
の極限をとるととなりロピタルの定理を用いて、
と変形される。
最初に対数をとっていたのでそれを元に戻すと、とコブダグラス型関数になる。

のとき、と変形できる。
ここでと仮定し、、とおく。
よりなので、となる。
のときも同様にするととなり、
のときはである。