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線形代数Ｂ　榎一郎

最終更新：2017年11月13日 18:18

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１．次のベクトルの組の中からとりうる，線形独立なものの最大の個数を求めよ．

$\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}.$

２． $V$ を， $X,Y,Z$ を変数とする実係数斉2次多項式のなすベクトル空間とする．すなわち， $P \in V$ は， $X,Y,Z$ の多項式で，各 $t \in \mathbb{R}$ に対し，次を満たす：

$P(tX,tY,tZ)=t^2P(X,Y,Z).$

線形写像 $f:V \rightarrow V$ を，

$\begin{align}f(P)(X,Y,Z) = \frac{1}{6}(P(X,Y,Z)+P(Y,Z,X)+P(Z,X,Y) \\ -P(Y,X,Z)-P(X,Z,Y)-P(Z,Y,X))\end{align}$

で定める．次の問いに答えよ．
(i) $V$ の基底をひとつ挙げ， $V$ の次元を求めよ．
(ii)上の基底に関する $f$ の行列表現を求めよ．
(iii) $f$ の像 $\mathrm{Im}f$ の基底をひとつ挙げよ．
(iv) $f$ の核 $\mathrm{Ker}f$ の次元を求めよ．