和の公式 - muna @ ウィキ - atwiki（アットウィキ）

和の公式について、あれこれ

数列の和について、公式と呼ばれるものは次にあげるものだろう。

(1): $\sum _{k=1}^n 1 = n$

(2): $\sum _{k=1}^n k = \frac{1}{2}n(n+1)$

(3): $\sum _{k=1}^n k^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$

(4): $\sum _{k=1}^n k = \bigl [ \frac{1}{2}n(n+1) \bigr ]^2$

(5): $\sum _{k=1}^n r^{k-1} = \frac{r^n-1}{r-1} = \frac{1 - r^n}{1 -r},\quad (r\neq 1)$

最後の公式(5)は、等比数列の和の公式である。

ここで $n$ の取り得る値は、1以上の整数である。たとえば $n=0$ を代入することに意味はない。

$n=0$ を(1)-(5)に代入するとゼロになる。これをどのように解釈するべきかは難しいことあるが、
階差数列に対して次のことがいえる。

数列 $\{ a_n \}$ の階差数列 $\{ b_n \}$ は、

(6): $a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k (n\geq 2)$

という関係をもつ。階差数列が $n$ の多項式か指数関数の場合は、(6)は $n=1$ の場合にも適用できる。

$\left( n+1\right) ^{i}-1=\sum ^{i-1}_{k=1}{}_iC_{k}S^{k}$

最終更新：2014年02月27日 19:09

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