位相の各公理の関係など参考
台集合 開集合系
閉集合系 開集合の補集合を取れば良い。
近傍系 xを含む開集合を含む部分集合 開近傍系(基本近傍系) xを含む開集合
開核演算子と閉包演算子 Aに含まれる最大の開集合と,Aを含む最小の閉集合 あるいは,Aに含まれる開集合の和集合と,Aを含む閉集合の共通部分 ←稠密な部分集合 ←稠密な部分集合(自明)
点列の収束の例 →1点に収束しないことから,ハウスドルフでないことが分かる。 xに収束する ⇔ 任意のxの近傍に対して,ある番号より先の列が含まれる。 1. ←!!! 2. 3. 4. 5. 6. 7.
可算公理 基本近傍系として,特に近傍系を取れば,これは高々可算個の近傍からなる基本近傍系であるから,第1可算である。 開基としても同様に,もとの開集合系を取れば,これは高々可算個の開集合から開基であるから,第2可算である。 従って特に,可分でもある。実際,稠密な高々可算部分集合として, をとることができる。
分離公理 「1点集合が閉集合」とは限らないので,第1分離公理ですらない。
コンパクト性 の開被覆があれば,それは自動的に有限被覆である。 従って任意の部分集合はコンパクト集合である。 特に,部分集合としてX自体を取れば,コンパクト空間(⇒局所コンパクト)である。 ※一般に,位相空間の有限部分集合はコンパクトである。
連結性 開かつ閉が自明なものに限るので,連結である。 部分集合の連結性を調べるに当たって,部分位相を調べる↓ 部分空間の相対位相 もとの開集合とAとの共通部分を改めて開集合にする。 ※元の位相では開集合でないものが表れることに注意する。 連結 連結 連結 不連結! ←一般に分離位相は完全不連結で,その連結成分は一点集合 連結 連結 一般に,有限集合上の位相空間において,連結⇔弧状連結だが, 実際,以下のようにして弧( 連続写像)をつくることができる。 従って弧状連結である。
同相写像群 XからXへの全単射の全体は3次対称群である。 このうち連続写像であるためには, を満たさなければならないが,これを満たすものは次の二つのみである。 これらはいずれも両連続であるから,同相写像であり,これで尽くされる。