対称行列とエルミート行列

Def. 

Rem. 
エルミート行列は正規行列である。
正規行列参照
→ 1. ユニタリ行列で対角化可能
   1'. 特に対称行列は直交行列で対角化可能
   2. スペクトル分解可能

Th. 
エルミート行列の固有値は実数である。

実際，固有値λに対する固有ベクトルxとして，


より従う。

Th. (Courant-Fischer's minimax theorem)
エルミート（対称）行列Aの固有値を大きい順に並べる。

このとき

ただし S は部分空間

Cor. 二次形式の抑えこみ

この事実はミニ・マックス定理を経由しなくても次のようにして示せる。
すなわち，エルミート行列は正規行列であるから，スペクトル分解できる。

さらに， に対してとおく。
 である。

Cor. 分離定理
Cor. 単調定理

注意
一般の正方行列Mに対して、ミニマックス定理は成立しない。
正方行列Mについて、二次形式で生きてくるのは対称成分

のみであるから、この対称成分に対してミニマックス定理が成立する。

エルミート形式（二次形式）

定義 エルミート行列（実対称行列）Aに対して、

エルミート形式は実数に値をとる。

エルミート形式の変換
xの基底変換によって不変でなくてはならないから、xが正則行列Tで変換されると、
Aは合同変換で変換される。
合同変換によって固有値は変化する。

定理 Sylvester's law of inertia
エルミート行列の固有値の符号は、合同変換によって保たれる。

正定値行列

定義 エルミート行列Aが正定値とは、

例 分散共分散行列など

定理 エルミート行列に対して、（半）正定値性と固有値が全て正（非負）であることは同値

判定法
Schur補行列を用いて、小さなブロックの判定に落としこむ
主座小行列式を用いる方法もある。

定理
正定値行列の和、正数倍もまた正定値である。
また、合同変換不変である（シルベスターの慣性法則）。

定理 正定値行列の分解
A 正定行列に対して、正則行列（または対角要素が正の上三角行列）Pが存在して、

上三角の分解を特にCholesky factorization という。
[略証]
Aは実対称なので、直交行列Uを用いて対角化することができる。


Aは半正定値なので、固有値は全て非負であるから、次のような行列を考えることができる。


これを用いて、Pを次で定義すれば、これが求めるものである。

系 正定値行列の平方根

内積との関係

定理 ユークリッド空間の任意の内積g(x,y)に対して、正定値行列Pがあって、

と表現できる。
逆に、正定値エルミート行列が定める双一次形式は内積である。