完全微分形

与えられた微分方程式が以下の形で表されるとき、完全微分形と呼びます。

$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$ 　　 $(1)$

ただし、P(x,y),Q(x,y)は以下の条件を満たすものとする。

$\frac{\partial P(x,y)}{\partial y}=\frac{\partial Q(x,y)}{\partial x}$ 　　 $(2)$

この形の微分方程式の一般解は、以下の式で表されます。

$\int P(x,y) dx + \int \{Q(x,y)-(\frac{\partial}{\partial y}\int P(x,y)dx)\}dy = C$ 　　 $(3)$

このような形の方程式が与えられたら、必ず(2)を確認するようにしましょう。

なぜなら、

$3x^{2}y^{4} dx + 4x^{3}y^{3}dy=0$ 　　 $(4)$

は完全微分形であるが、よく似た式、

$3xy^{2} dx + 4x^{2}ydy=0$ 　　 $(5)$

は完全微分形ではない。試しに(2)を計算してみれば分かる。

なお、これまでに登場した微分方程式(変数分離形、一階線形)は完全微分形を用いて表すことができる。

変数分離形ならば、

$P(x)Q(y)dx-dy=0$ 　　 $(6)$

一階線形ならば、

$\{P(x)y-Q(y)\}dx+dy=0$ 　　 $(7)$

最終更新：2009年05月31日 02:20

ツールボックス

下から選んでください:

新しいページを作成する

ヘルプ / FAQ もご覧ください。

R3-Group wiki