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2次体の例6

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\mathbb{Q}(\sqrt{5}i) における素数 p の運命（ただしp\neq2,\ 5）

p=(a+b\sqrt{5}i)(a-b\sqrt{5}i) なる a,\ b\in\mathbb{Z} が存在するための必要十分条件は
p を 20 で割ったときの余りが 1 または 9 であること。

素数 余り 分解例（分解は一意である）
3 3 ×
7 7 ×
11 11 ×
13 13 ×
17 17 ×
19 19 ×
23 3 ×
29 9 29=3^2+5\cdot2^2=(3+2\sqrt{5}i)(3-2\sqrt{5}i)
31 11 ×
37 17 ×
41 1 41=6^2+5\cdot1^2=(6+\sqrt{5}i)(6-\sqrt{5}i)
43 3 ×
47 7 ×
53 13 ×
59 19 ×
61 1 61=4^2+5\cdot3^2=(4+3\sqrt{5}i)(4-3sqrt{5}i)
67 7 ×
71 11 ×
73 13 ×
79 19 ×
83 3 ×
89 9 89=3^2+5\cdot4^2=(3+4\sqrt{5}i)(3-4\sqrt{5}i)
97 17 ×


〔補足〕素イデアル分解

  • 素数 p を 20 で割ったときの余りが 1 または 9 ならば，イデアル (p) は素な「単項イデアル」2つに分解される。
  • 素数 p を 20 で割ったときの余りが 3 または 7 ならば，イデアル (p) は素な「単項でないイデアル」2つに分解される。
  • 素数 p を 20 で割ったときの余りが 11 または 13 または 17 または 19 ならば，イデアル (p) はそれ自身が素な「単項イデアル」である。


〔補足〕素イデアル分解の例

6=2\cdot3=(1+\sqrt{5}i)(1-\sqrt{5}i) と2通りの分解ができてしまうが，
これをイデアルで考えると，次のようになる。

  • \mathfrak{a}=(3,\ 1+\sqrt{5}i)=\{\ m+n\sqrt{5}i\ |\ m-n\equiv0\pmod3\ \}
  • \mathfrak{b}=(3,\ 1-\sqrt{5}i)=\{\ m+n\sqrt{5}i\ |\ m+n\equiv0\pmod3\ \}
  • \mathfrak{c}=(1+\sqrt{5}i,\ 1-\sqrt{5}i)=\{\ m+n\sqrt{5}i\ |\ m-n\equiv0\pmod2\ \}
とすると
  • \mathfrak{ab}=(3)=\{\ m+n\sqrt{5}i\ |\ m\equiv n\equiv0\pmod3\ \}
  • \mathfrak{ac}=(1+\sqrt{5}i)=\{\ m+n\sqrt{5}i\ |\ m-n\equiv0\pmod6\ \}
  • \mathfrak{bc}=(1-\sqrt{5}i)=\{\ m+n\sqrt{5}i\ |\ m+n\equiv0\pmod6\ \}
  • \mathfrak{c}^2=(2)=\{\ a+b\sqrt{5}i\ |\ a\equiv b\equiv0\pmod2\ \}
となり，すなわち
  • (2)\cdot(3)=\mathfrak{c}^2\cdot\mathfrak{ab}
  • (1+\sqrt{5}i)\cdot(1+\sqrt{5}i)=\mathfrak{ac}\cdot\mathfrak{bc}
である。

すなわち， (6)=\mathfrak{abc^2} と，素イデアル分解はただ一通り。



誤りを見つけたらコメントとして記入してください。

コメント:
  • コメントは，こんな風に書き込まれます。 (2007-12-30 16:25:45)





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