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線形3項間漸化式の解法

a_{n+2}=pa_{n+1}+qa_n
特定方程式t^2=pt+qを解くと、
t=\alpha=\frac{p-\sqrt{p^2 +4q}}{2},t=\beta=\frac{p+\sqrt{p^2+4q}}{2}
ここで、次のように変形できる
\left\{ \begin{array}{c} a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta (a_{n+1}-\alpha a_{n}) \\ a_{n+2}-\beta a_{n+1}=\alpha (a_{n+1}-\beta a_n) \end{array}\right.
\iff \left\{ \begin{array}{c} a_{n+1}-\alpha a_n={\beta}^{n-1} (a_2-\alpha a_1) \\ a_{n+1}-\beta a_n={\alpha}^{n-1}(a_2-\beta a_1) \end{array}\right.
これよりa_{n+1}を削除すると、
a_n=\frac{{\alpha}^{n-1}(a_2-\beta a_1)-{\beta}^{n-1}(a_2-\alpha a_1)}{\alpha - \beta}

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最終更新：2012年01月18日 09:09
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