方程式

一次変換

直線を一次変換する場合、
f(x,y)=x'
g(x,y)=y'
となるのであれば、
x=f-1(x',y')
y=f-1(x',y')
を求めて、これをもとの直線の式に代入する。


証明をする際、
もっとも容易な手段は
x→p\q などのように、
既に証明されている式に代入することである。

なお、一次方程式 f(x)=0 が解をもたないのは、
傾きm=0のときのみである。


二次方程式

f(x)=ax^2+bx+c=0
\iff x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
これより、二次方程式の一解がx=\frac{a+\sqrt{b}}{c}であれば、
もう一つの解はx=\frac{a-\sqrt{b}}{c}に定まる。
以下、a>0として考える

これが二つの異なる解をもつ条件は、
D=b^2-4ac>0

これが二つの異なる解(α<x<β)をもつ条件は、
D=b^2-4ac&gt;0
f(\alpha)&gt;0,f(\beta)&gt;0

これが正に二つの異なる解をもつ条件は、
D=b^2-4ac&gt;0
f(0)&gt;0
\frac{b}{2a}&gt;0

三次方程式

三次関数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d=0解がα、β、γと分かっている場合には、
ax^3+bx^2+cx+d=a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)
と置き換えることができる。

三次方程式 f(x)=0 が異なる3つの実数解をもつのは、
その極値をx=α、βとおいたとき、
f(α)f(β)<0 を満たす時である。

また、解の一つが分かっている場合は、
その値によって因数分解することで、
実質二次方程式に落とすことができる。


連立方程式

y=f(x),y=g(x)が交点x=aを持つとき、
f(a)=g(a)

行列法

(1)二つの式から普通に解く。
(2)行列にして考え、逆行列をかけることによって求める。
 (例)存在条件が分からない場合、逆行列の存在の有無で条件が判明する。
(3)一方の方程式をパラメータ表示(ベクトル表示)にしてもう一方の方程式に代入する。
 (例)楕円と一次方程式:一次方程式をベクトル表示(パラメータ表示)して楕円の式に代入する
(4)騙し法で文字を減らす。

\left\{ \begin{array}{c} a_1x+b_1y=c_1 \\ a_2x+b_2y=c_2 \end{array}\right.
これを一つの式で表すと、
\left( \begin{array}{cc} a_1 &amp; b_1 \\ a_2 &amp; b_2 \end{array}\right)\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right)=\left( \begin{array}{c} c_1 \\ c_2 \end{array}\right)
これが実数解を持つためには、逆行列\left( \begin{array}{cc} a_1 &amp; b_1 \\ a_2 &amp; b_2 \end{array}\right)^{-1}が必要となる。
したがって、実数解をもつ条件は、
\Delta = a_1b_2-a_2b_1 \ne 0である。
また、\Delta = 0\iff \frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}が成り立つから、
2つの方程式を座標上に表示すると、平行であることが分かり、ここからも実数解が存在しないことがわかる。

騙し法

\left\{ \begin{array}{c} y-a_1=m_1(x-b_1) \\ y-a_2=m_2(x-b_2) \end{array}\right.
今、二番目の式について、
y-a_1+a_1-a_2=m_2(x-b_1+b_1-b_2)
と書き換えることができる。これより、
m_1(x-b_1)+a_1-a_2=m_2(x-b_1)+m_2(b_1-b_2)
と、yを消すことができるので、このことから、
(m_1-m_2)(x-b_1)=m_2(b_1-b_2)-(a_1-a_2)
\iff x-b_1=\frac{m_2(b_1-b_2)-(a_1-a_2)}{m_1-m_2}


複雑な連立方程式

\{f(x,y)\}^2-\{g(x,y)\}^2&gt;0
はそのままでは解けないため、
\{f(x,y)+g(x,y)\}\{f(x,y)-g(x,y)\}&gt;0
を解く。
(例)
条件より、2x-2\le y\le 2x+2
(-2x+y-2)^2-16x\ge 0
\iff (-2x+y-2+4\sqrt{x})(-2x+y-2-4\sqrt{x})\ge 0
今、\{y-(2x+2)\}-4\sqrt{x}\le 0は明らかより、
-2x+y-2+4\sqrt{x}\le 0を解けばよいので、
\iff y\le 2x -4\sqrt{x} +2

二変数関数の方程式

x,yによって定義される関数f(x,y)の微分は、片方の文字を定数として扱う。
すなわち、微分をする際は必ず偏微分となる。
(例)
f(x+y)=f(x)+f(y)-xy
これをyで微分すると、すなわち偏微分であるから、
f&#039;(x+y)=f&#039;(y)-x
したがって、y=0のときf&#039;(x)=f&#039;(0)-xが実現される。

二変数関数の最大最小

f(a,b)の一方を固定する。
まず、b=b_oとするとき、
f(a,b_o)が単調増加であれば、その最大値はf(a_M,b_o)となる。
次に、a=a_Mとするとき、
f(a_M,b)が単調増加であれば、その最大値はf(a_M,b_M)となる。
このように片方の文字を固定化して分割して考える。

(例)
\sin \alpha \sin \beta \sin (\alpha + \beta)
 = {1 \over 2}(\cos \beta - \cos(2\alpha + \beta))\sin \beta
β固定で考えると、2α+β=πで最大。このとき、
 {1 \over 2}(\cos \beta + 1)\sin \beta

よって、
{1 \over 2}(\cos x + 1)\sin x
の最大値を微分して求める。
f(x)={1 \over 2}(\cos x + 1)\sin x \iff f&#039;(x)&gt;\frac{1}{2}\iff -\frac{\pi}{3}&lt;x&lt;\frac{\pi}{3}
よって、f\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{3\sqrt{3}}{8}より、
\alpha=\beta=\frac{\pi}{3}で最大。


二つの√削除

\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}+\alpha
\iff f(x)=g(x)+{\alpha}^2+2\alpha\sqrt{g(x)}
\iff f(x)-g(x)-{\alpha}^2=2\alpha\sqrt{g(x)}
\iff (f(x)-g(x)-{\alpha}^2)^2=4{\alpha}^2 g(x)
このように、二回二乗することで√は削除できる。

絶対値と不等式

|f(x)|&lt;a(a&gt;0)が成り立つとき、
-a&lt;f(x)&lt;a
また、\{f(x)\}^2&lt;a^2となる。(絶対値記号は非負の値という意味なので)
|x+y+z|\le |x|+|y|+|z|


ガウス記号方程式

\sum_{j=0}^{n-1}\left[x+\frac{j}{n}\right]=[nx]

<証明>
x=m+\alpha(mは整数、0≦α<1)と表せるので、αは
\frac{k}{n}\le \alpha &lt; \frac{k+1}{n}(k\le n-1)と表せる。
ところで、m+\alpha+\left(-\frac{k+1}{n}+1\right)&lt;m+\alpha+(-\alpha+1)=m+1より、
[x]=\left[ x+\frac{1}{n}\right]=...=\left[x+\frac{n-(k+1)}{n}\right]=m
\left[x+\frac{n-k}{n}\right]=...=\left[x+\frac{n-1}{n}\right]=m+1
故に、\sum_{j=0}^{n-1}\left[x+\frac{j}{n}\right]=m(n-k)+(m+1)k=mn+k\le mn+n\alpha=n(m+\alpha)=nx&lt;mn+k+1
以上より、[nx]=mn+kより成立。

掛けることで解ける方程式

Ax+\frac{B}{x}=0\iff Ax^2+B=0
Ae^x+Be^{-x}=0\iff Ae^{2x}+B=0

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最終更新:2012年08月23日 10:18
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