積分 - center_math @ ウィキ - atwiki（アットウィキ）

積分

$b-a=\int_a^b dx$ より、
$(b-a)N=\int_a^b N dx$

一般公式

$\int f(ax+b)dx = \frac{1}{a}F(x)+C$
$\int f(g(x))g'(x)dx = F(g(x))+C$
$\int \frac{f'(x)}{f(x)}dx=\log |f(x)|+C$

部分積分の公式

$f(x)$ をn次の整式とするとき、
$g(x)$ がn次以上の整式、または指数関数、または三角関数である場合、
$\int f(x)g(x)dx=\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}{f(x)}^{(k-1)}{g(x)}^{(-k)}$
ただし、 ${f(x)}^{(k)}$ は $f(x)$ のk階微分を表し、
${g(x)}^{(-k)}$ は $g(x)$ をk回積分したものを表す。

不定積分

$\int f(t) f'(t)g(t)dt=\int \frac{1}{2}\left[\left\{f(t)\right\}^2\right]^{'}g(t)dt=\frac{1}{2}\{f(t)\}^2g(t)-\int\frac{1}{2}\{f(t)\}^2g'(t)dt$
$\int \{ f(t) \}^2 f'(t)g(t)dt=\int \frac{1}{3}\left[\left\{f(t)\right\}^3\right]^{'}g(t)dt=\frac{1}{3}\{f(t)\}^3g(t)-\int\frac{1}{3}\{f(t)\}^3g'(t)dt$

三角関数

$I(x)=\int \sin x dx=-\cos x +C$
$I(x)=\int \cos x dx=\sin x +C$
$I(x)=\int \tan x dx=\int \frac{\sin x}{\cos x}dx=-\int \frac{(-\cos x)'}{-\cos x}=-\log |-\cos x|+C=-\log |\cos x|+C$
$I(x)=\int {\sin}^2 x dx=\int \frac{1}{2}(1-\cos 2x)=\frac{1}{2}\left( x - \frac{\sin 2x}{2} \right)$
$I(x)=\int {\cos}^2 x dx=\int \frac{1}{2}(1+\cos 2x)=\frac{1}{2}\left( x + \frac{\sin 2x}{2} \right)$
$I(x)=\int \frac{1}{{\sin}^2 x}dx=-\frac{1}{\tan x}$
$I(x)=\int \frac{1}{{\cos}^2 x}dx=\tan x$
$I(x)=\int \sin^2 x \cos xdx=\frac{1}{3}\sin^3 x$
$I(x)=\int \cos^2 x \sin xdx=-\frac{1}{3}\cos^3 x$
$I(x)=\int \frac{1}{\tan x}dx=\int \frac{(\sin x)'}{\sin x}dx=\log |\sin x|$
$I(x)=\int \sin \alpha x \sin \beta xdx=\frac{1}{2}\int \{cos(\alpha -\beta )x-\cos (\alpha +\beta )\}xdx=\frac{1}{2}\left( \frac{\sin(\alpha -\beta)x}{\alpha -\beta} - \frac{\sin(\alpha +\beta)x}{\alpha +\beta} \right)$

分数関数

$I(x)=\int \frac{1}{x-a}dx=\log|x-a|$

$I(x)=\int \frac{2}{x^2-1}dx=\int \frac{2}{(x-1)(x+1)}dx=\int\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}dx=\log|x-1|-\log|x+1|=\log\left|\frac{x-1}{x+1}\right|$
$I(x)=\int \frac{x^n-1}{x-1}dx=\int\frac{1-x^n}{1-x}dx=\int(1+x+x^2+...+x^{n-1})dx=\int \sum_{k=1}^{n} x^{k-1}=\sum_{k=1}^n \frac{x^k}{k}$
$I(x)=\int \frac{x^n}{x-1}dx=\int \frac{1+x^n-1}{x^2-1}dx=\int \frac{1}{x-1} + \frac{x^n-1}{x-1}dx=\log (x-1) + \sum_{k=1}^n \frac{x^k}{k}$

$I(x)=\int \log (x+a)dx=\int(x+a)'\log (x+a)dx=(x+a)\log (x+a) - \int dx = (x+a)\log (x+a) -x$

ネイピア数を含む関数

循環型

$I(x)=\int e^{kx}\sin x dx$
ここで、 $(e^{kx}\sin x)'-\frac{1}{k}(e^{kx}\cos x)'=ke^{kx}\sin x+\frac{1}{k} e^{kx}\sin x$ より
$\left\{e^{kx}\left(\sin x-\frac{1}{k}\cos x \right)\right\}'=\frac{k^2+1}{k}e^{kx}\sin x$ だから、
　　 $I(x)=\frac{k}{k^2+1}e^{kx}\left(\sin x-\frac{1}{k}\cos x \right)$

数列型

$I_n=\int_0^1 \frac{x^n}{n!}e^{-x}dx$ を式変形すると、
$I_n-I_{n-1}=-\frac{e^{-1}}{n!}$ という階差数列が成り立つ。
これを解くと、 $I_n=-\frac{1}{e}+1-\frac{1}{e}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k!}=+1-\frac{1}{e}\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}$
ちなみに、 $f(x)=\frac{x^n}{n!}e^{-x}$ は単調増加で、
$f(0)=0,f(1)=\frac{e^{-1}}{n!}$ を満たしているので、
$0 < f(x) < \frac{e^{-1}}{n!}\iff \int_0^1 0 < I_n < \int_0^1 \frac{e^{-1}}{n!}\iff 0 < I_n < \frac{e^{-1}}{n!}$
より、
$\lim_{n\to\infty} I_n=0$ は明白であるから、さきほどの式より、
$\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!} = e$ とわかる。

定積分

置換と一般性

$-1\le x\le 1\$ のとき、
$x=\cos\theta$ であれば、
$0\le \theta\le \pi$ の範囲で一般性は保たれる
$x=\sin\theta$ であれば、
$\frac{\pi}{2}\le \theta\le \frac{\pi}{2}$ の範囲で一般性は保たれる

定数法

$\frac{f(x)}{g(x)}$ が積分できない場合、
g(x)が単調に変化するのであれば、あらかじめg(x)のとりうる最大、最小の値を代入しておき、
これを定数化することで、容易に積分できるf(x)によって大小を決められる。
$f(x)\ge 0,g(x)>0,g'(x)>0$ とすると、
$\int_n^{n+1} \frac{f(x)}{g(x)}dx$ の大小は、g(x)に着目して、
$\frac{f(x)}{g(n+1)}\le \frac{f(x)}{g(x)}\le \frac{f(x)}{g(n)}$ より、
$\int_n^{n+1} \frac{f(x)}{g(n+1)}dx\le \int_n^{n+1} \frac{f(x)}{g(x)}dx\le \int_n^{n+1} \frac{f(x)}{g(n)}dx$
ここで、 $\int_n^{n+1}　f(x)=F(n+1)-F(n)$ とおくと、
$\frac{F(n+1)-F(n)}{g(n+1)}dx\le \int_n^{n+1} \frac{f(x)}{g(x)}dx\le \frac{F(n+1)-F(n)}{g(n)}dx$

基本型

$f(x)&gt;0$ とすると、
$\int_0^{n\pi} f(x)|\sin x|dx=\sum_{k=1}^n \int _{(k-1)\pi}^{k\pi}f(x)|\sin x|dx=\sum_{k=1}^n\left|\int _{(k-1)\pi}^{k\pi}f(x)\sin xdx\right|$

$S_x=\int f(ax)dx$
$ax=t$ と置き換えると、 $dx=\frac{dt}{a}$ より
$S_t=\frac{1}{a}\int f(t)dt$

分数関数

$S_x=\int_0^1 \frac{2ax+b}{x^2+1}$ ]
$\iff S_x=a\int_0^1 \frac{2x}{x^2+1}+b\int_0^1 \frac{1}{x^2+1}=a\int_0^1 \frac{(x^2+1)'}{x^2+1} + b\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{\tan^2 \theta}\cdot \frac{d\theta}{\cos^2 \theta}$
$=a[\log|x^2+1|]_0^1+b[\theta]_0^{\frac{\pi}{4}}=a\log 2 + b\frac{\pi}{4}$

ネイピア数型

$S_x=\int f(e^x)e^xdx$
$e^x=t$ と置き換えると、 $dx=\frac{dt}{e^x}$ fより
$S_t=\int f(t)dt$

三角関数型

$S_x=\int f(\sin x)\cos x dx$
$\sin x=t$ と置き換えると、 $dx=\frac{dt}{\cos x}$ より
$S_t=\int f(t)dt$

$S_x=\int f(\tan x)\frac{1}{{\cos}^2 x}dx$
$\tan x=t$ と置き換えると、 $dt=\frac{dx}{{\cos}^2x}$ より
$S_t=\int f(t)dt$

$S_x=\int \frac{1}{\cos x}dx=\int \frac{\cos x}{\cos^2 x}dx=\int \frac{\cos x}{1-\sin^2 x}dx$
ここで、 $\sin x = t$ で、
$S_t=\int \frac {1}{1-t^2}dt=\frac{1}{2} \int \left( \frac{1}{1-t} - \frac{1}{1+t}dt \right)=\frac{1}{2}\log\left|\frac{1-t}{1+t}\right|$

根号型

$S_x=\int f(x)\sqrt{a^2-x^2}dx$
$x=a\sin\theta$ と置き換えると、 $dx=a\cos\theta dt$ より
$S_\theta=\int f(a\sin\theta)a^2\cos^2 \theta d\theta$

$S_x=\int f(x^2)\sqrt{a^2+x^2}dx$
$a^2+x^2=t$ と置き換えると、 $dt=2xdx$

$S_x=\int \sqrt{x-x^2}dx$
$\sqrt{x-x^2}=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2-\left( x-\frac{1}{2} \right)^2}dx$
よって、 $x-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\sin\theta$ と置き換えると、 $dx=\frac{1}{2}cos\theta d\theta$ より
$S_\theta=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{4}\cos^2\theta d\theta=\frac{\pi}{8}$

$S_x=\int \frac{1}{x^2+1}dx$
$x=\tan \theta$ と置き換えると、 $dx=\frac{d\theta}{{\cos}^2 \theta}$ より
$S_\theta=\int d\theta$

$S_x=\int_{f(\alpha)}^{f(\beta)} f^{-1}(x)dx$
$x=f(t)$ と置き換えると、 $dx=f&#039;(t)dt$ より
$S_t=\int_{\alpha}^{\beta} f^{-1}(f(t))f'(t)dt=\int_{\alpha}^{\beta} tf'(t)dt=[f(t)t]-\int f(t)dt$

指数関数

$S_x=\int xa^x dx$
$a^x=t \iff x=\log_a t=\frac{\log t}{\log a}$ として
$S_t=\frac{1}{(\log a)^2}\int \log t dt=\frac{1}{(\log a)^2}(t\log t - t)$

特殊な定積分

$S=\int_0^1 \sqrt{1-x^2}dx$

$y=\sqrt{1-x^2}\iff x^2+y^2=1$ の上側より、
この式は半円を意味する。したがって、その半分に相当するから、
$\int_0^1 \sqrt{1-x^2}dx={\pi \over 4}$

$S=\int_0^1 x^2\sqrt{1-x^2}dx$

$x=\sin\theta$ とおくと、
$S=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2\theta \cos^2\theta d\theta$
$={1 \over 4}\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 2\theta d\theta$
$={1 \over 8}\int_0^{\frac{\pi}{2}} 1-\cos 4\theta d\theta$
$={1 \over 8}\left[ \theta - {\sin 4\theta \over 4} \right]_0^{\frac{\pi}{2}}$
$={\pi \over 2}$

循環型定積分からのあぶり出し

$f(x)=a+k\int_{\alpha}^{\beta} g(x)f(y)dy$
となるとき、 $k\int_{\alpha}^{\beta}f(y)dy=A$ とおくと
$f(x)=a+g(x)k\int_{\alpha}^{\beta} f(y)dy=a+Ag(x)$
とあらせるので、 $A=k\int_{\alpha}^{\beta} \{a + Ag(y)\} dy$
という関係式が成り立つから、
$A=k[ay+AG(y)]_{\alpha}^{\beta}=k\{ a(\beta - \alpha) + A(G(\beta)-G(\alpha)) \}$
$\iff A=\frac{ka(\beta - \alpha)}{1-G(\beta)+G(\alpha)}$
以上より、 $f(x)=a+\frac{ka(\beta - \alpha)}{1-G(\beta)+G(\alpha)}g(x)$
(例)
$f(x)=\frac{a}{2\pi}\int_0^{2\pi} \sin(x+y)f(y)dy+\frac{b}{2\pi}\int_0^{2\pi} \cos(x-y)f(y)dy+\sin x + \cos x$
$\iff \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \sin(x+y)f(y)dy=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} (\sin x \ cos y + \cos x \sin y) f(y) dy$
$= \sin x \cdot \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \cos yf(y) dy + \cos x \cdot \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \sin yf(y) dy = C \sin x + S \cos x$
同様にして、 $\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \cos(x-y)f(y)dy = S \sin x + C \cos x$
これらより、 $f(x)=(aC+bS+1)\sin x + (aS+bC+1)\cos x$
これをそれぞれCとSの式に代入する

変数を含む定積分

$\int_a^x f(t)dt=g(x)$ とあるとき、f(x)はこれを微分すれば、
$f(x)=g&#039;(x)$ と求まる。

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最終更新：2012年06月23日 09:14

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