曲線 - center_math @ ウィキ - atwiki（アットウィキ）

曲線

http://www.rimath.saitama-u.ac.jp/lab.jp/fsakai/ac1.html

楕円

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ (a>b>0)のとき、
x軸半径a,y軸半径b,焦点のx座標 $\pm\sqrt{a^2-b^2}$ の楕円となる。

双曲線

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ のとき、
x軸との交点(a,0)(-a,0),焦点のx座標 $\pm\sqrt{a^2+b^2}$ ,漸近線 $y=\pm\frac{b}{a}x$ となる。

直線と点の距離

直線l $y=mx$ と定点A $(a,b)(a&gt;0,b&gt;0)$ を定めるとき、
定点を中心として直線に接する円を考える。
この円と直線との交点をPとするとき、
mを正の範囲で動かした場合できる図形を考える。
このとき、∠OPA=90°が常に成り立つので、
OAを直径にした円の一部であることがわかる。

円と点の距離

円の中心をO,半径をr,点をPとする。
円の外部に点があるとき、d=OP-r
円の内部に点があるとき、d=r-OP
2円C,C'からの距離が一定な点Pを考えると、
(ⅰ)2円の外部にあるとき、d=d'⇔OP-O'P=r-r'より、
　　小さい方の円の中心を焦点とする双曲線の片割れとなる
(ⅱ)2円の内部にある時、同じ結果
(ⅲ)一方の円の外部にあり、一方の円の内部にある時、
　　 d=d'⇔OP+O'P=r+r'より楕円となる
(ⅳ)(ⅲ)と逆の関係にある時も同様
また、この楕円と双曲線は互いに連続であるから、Pによって描かれる図形は
楕円と双曲線の一方となる。

$PA+PB=k,A(-a,0),B(a,0)$ のとき、
PA+PB=Kを満たすとき、
短半径はA,Bからの距離が等しい位置にPが来た時三平方で求める。
長半径 $k \over 2$ ,短半径 $\sqrt{\left( \frac{k}{2} \right)^2 - a^2}$ の楕円

$PA-PB=k,A(-p,0),B(p,0)$ のとき、
原点Oからの最短距離が $\frac{k}{2}$ の双曲線

球と点の距離

球の外部に点があるとき、d=OP-r
球の内部に点があるとき、d=r-OP
これは円と点の関係と同じである。

楕円・双曲線の接線

楕円 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$
の楕円上の点 $(\alpha,\beta)$ における接線は、
$\frac{\alpha}{a^2}x+\frac{\beta}{b^2}y=1$

また、双曲線 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$
上の点 $(\alpha,\beta)$ における接線は、
$\frac{\alpha}{a^2}x-\frac{\beta}{b^2}y=1$

(xx→αx,yy→βy)

楕円の面積

正円の面積を考えたあと、へこんでる割合を掛ける。
縦1,横2の円なら、縦2横2を考えたあと×1\2をする。

楕円どうしの交点

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,\frac{x^2}{c^2}+\frac{y^2}{d^2}=1$
のとき、
$\left( \begin{array}{cc} a^{-2} & b^{-2} \\ c^{-2} & d^{-2} \end{array}\right)\left( \begin{array}{c} x^2 \\ y^2 \end{array}\right)=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}\right)$
より、 $x^2,y^2$ の値が求まる。