極限 - center_math @ ウィキ - atwiki（アットウィキ）

極限

lim[x→∞]f(x)=α

一般的に、 $\lim_{x\to \infty}f(x)=\alpha$ が成立すると分かっているとき、
これを証明するためには、
$\lim_{x\to \infty}f(x)-\alpha|=0$
もしくは
$\lim_{x\to \infty}|f(x)-\alpha|=0$
を示せばよい。

また、一般に、
$f(x)=0$ が成立するとわかっているとき、
$\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f'(0)$

三角関数型

三角関数型：sinx,xの関係へ
漸化式型:漸化式をまず解いてから考える。

$\lim_{n\to\infty}\left(1+{1 \over n}\right)^n=e$

$\lim_{n\to 0}\frac{\sin n}{n}=1$

$\lim_{n\to 0}\frac{e^n-1}{n}=1$

$\lim_{t\to a}\frac{f(a)-f(t)}{a-t}=f'(a)$
$\Longleftrightarrow~ \lim_{t\to a}\frac{a-t}{f(a)-f(t)}=\frac{1}{f'(a)}$

極限の強さ

$\log x,x^n,a^x$ はいずれも極限において無限大になるが、
その強さは $\log x<x^n<a^x$ となる。
つまり、
$\frac{\log x}{x}\rightarrow 0,\frac{x^n}{a^x}\rightarrow 0,\frac{a^x}{\log x}\rightarrow \infty$

∞×0型

$\lim_{n\to\infty}n^2\left( 1-\cos\frac{\pi}{n} \right)$
$=\lim_{n\to\infty}2n^2\times {1-\cos{\frac{\pi}{n}} \over 2}=\lim_{n\to\infty}2n^2{\sin}^2\frac{\pi}{2n}$
$=\lim_{n\to\infty}2n^2\left(\frac{\pi}{2n}\right)^2\frac{{\sin}^2\frac{\pi}{2n}}{\left(\frac{\pi}{2n}\right)^2}=\lim_{n\to\infty}\frac{{\pi}^2}{2}\left(\frac{\sin\frac{\pi}{2n}}{\frac{\pi}{2n}}\right)^2=\frac{{\pi}^2}{2}$

$\lim_{n\to\infty}n(\log (n+1)-\log n )$
$=\lim_{n\to\infty}\log\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\log e=1$

0/0,∞/∞型

$\lim_{n\to\infty}\frac{\log(n+1)}{\log n}$
ここで、
$\frac{\log (n+1)}{\log n} -1 = \frac{\log(n+1) - \log n}{\log n}=\frac{\log \frac{n+1}{n}}{\log n}=\frac{\log \left( 1 + \frac{1}{n} \right)}{\log n}$
よって、 $\lim_{n\to\infty}\frac{\log(n+1)}{\log n}-1=0$ より、
$\lim_{n\to\infty}\frac{\log(n+1)}{\log n}=1$

$\lim_{p\to +0}\frac{(mp+1)^{\frac{3}{2}}-1}{(np+1)^{\frac{3}{2}}-1}$
ここで、
$\frac{a^{\frac{3}{2}}-1}{b^{\frac{3}{2}}-1}=\frac{(a^{\frac{1}{2}})^3-1^3}{(b^{\frac{1}{2}})^3-1^3}=\frac{(a^{\frac{1}{2}}-1)(a+a^{\frac{1}{2}}+1)}{(b^{\frac{1}{2}}-1)(b+b^{\frac{1}{2}}+1)}=\frac{(a^{\frac{1}{2}}-1)(a^{\frac{1}{2}}+1)(b^{\frac{1}{2}}+1)(a+a^{\frac{1}{2}}+1)}{(b^{\frac{1}{2}}-1)(a^{\frac{1}{2}}+1)(b^{\frac{1}{2}}+1)(b+b^{\frac{1}{2}}+1)}=\frac{a-1}{b-1}\cdot \frac{b^{\frac{1}{2}}+1}{a^{\frac{1}{2}}+1}\cdot \frac{a+a^{\frac{1}{2}}+1}{b+b^{\frac{1}{2}}+1}$
故に、 $\lim_{p\to +0}\frac{(mp+1)^{\frac{3}{2}}-1}{(np+1)^{\frac{3}{2}}-1}=\frac{m}{n}\cdot \frac{1+1}{1+1}\cdot \frac{1+1+1}{1+1+1}=\frac{m}{n}$

$$1^∞型
$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{1+\sqrt[n]{3}}{2}\right)^n$
今、 $a_n=\left(\frac{1+\sqrt[n]{3}}{2}\right)^n$ とおいて、対数をとると、
$\log a_n=n \log \frac{1+\sqrt[n]{3}}{2}=n\log (1+\sqrt[n]{3})-n\log 2$
ここで、等式 $\log_2+\frac{x}{2}\log a \le \log(1+a^x)\le \log2 + \frac{x}{2}\log a + \frac{x^2}{8}(\log a)^2$
を用いると、 $a\to 3,x\to\frac{1}{n}$ より、
$\log_2+\frac{1}{2n}\log 3 \le \log(1+\sqrt[n]{3})\le \log2 + \frac{1}{2n}\log 3 + \frac{1}{8n^2}(\log 3)^2$
$n\log_2+\frac{1}{2}\log 3 \le n\log(1+\sqrt[n]{3})\le n\log2 + \frac{1}{2}\log 3 + \frac{1}{8n}(\log 3)^2$
$\frac{1}{2}\log 3 \le n\log(1+\sqrt[n]{3})-n\log 2\le \frac{1}{2}\log 3 + \frac{1}{8n}(\log 3)^2$
$\frac{1}{2}\log 3 \le \log a_n\le \frac{1}{2}\log 3 + \frac{1}{8n}(\log 3)^2$
よって、 $\lim_{n\to \infty}\log a_n=\frac{1}{2}\log 3=\log \sqrt{3}$
以上より、 $\lim_{n\to \infty}\left(\frac{1+\sqrt[n]{3}}{2}\right)^n=\sqrt{3}$

∞^0型

$\lim_{n\to 0}\left(\frac{a^n+b^n+c^n}{3}\right)^\frac{1}{n}$
今、 $f(n)=\log\frac{a^n+b^n+c^n}{3}$ と置くと、
$\lim_{n\to 0}\log\left(\frac{a^n+b^n+c^n}{3}\right)^\frac{1}{n}=\lim_{n\to 0}\frac{1}{n}f(n)=\lim_{n\to 0}\frac{f(n)-f(0)}{n-0}=f'(0)$
$=\left \frac{a^x\log a+b^x\log b+c^x\log c}{a^x+b^x+c^x}\right|_0=\frac{\log a+\log b+\log c}{3}=\log\sqrt[3]{abc}$
$\left(\frac{a^n+b^n+c^n}{3}\right)^\frac{1}{n}$ は連続なので、 $\lim_{n\to 0}\left(\frac{a^n+b^n+c^n}{3}\right)^\frac{1}{n}=\sqrt[3]{abc}$

ロピタルの定理

$\lim_{x\rightarrow \alpha} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow \alpha} \frac{f^{(n)}(x)}{g^{(n)}(x)}$

タグ：

+ タグ編集

「極限」をウィキ内検索

最終更新：2013年06月30日 17:52

ツールボックス

下から選んでください:

新しいページを作成する

ヘルプ / FAQ もご覧ください。

center_math @ ウィキ

極限