ベクトル

以下、指定がない限りはすべて一次独立なベクトルとする。

ベクトル

直線AB上に点Pが存在するとする。
このとき、
$\overrightarrow{AP}=t\overrightarrow{AB}$
$\iff \overrightarrow{p}-\overrightarrow{a}=t(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})$
$\iff \overrightarrow{p}=(1-t)\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$
これがベクトルによる直線の方程式であるから、
これらを複数作り連立させることによって二直線の交点は求まる。

三角形と点の位置

△OABにおいて、
$\overrightarrow{OP}=p\overrightarrow{OA}+q\overrightarrow{OB}$

辺OA上： $0\le a\le 1,b=0$
辺OB上： $a=0, 0\le b\le 1$
辺AB上： $a+b=1,a\ge 0,b\ge 0$

OABの内部： $a&gt;0,b&gt;0,a+b&lt;1$

三角不等式

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$||\overrightarrow{a}|-|\overrightarrow{b}||\le|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|\le|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|$

また、2つの円が接する条件は、 $R\ge r$ として、
$R-r\le d\le R+r$

円と正三角形

円の中心をO,その円周の３点をA,B,Cとすると、
$\rightoverarrow{OA}+\rightoverarrow{OB}+\rightoverarrow{OC}=\rightoverarrow{0}$ が成り立つとき、
△ABCは正三角形である。

<証明>
(1)
$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{OC}$
$\iff |\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}|^2=|\overrightarrow{OC}|^2$
$\iff |\overrightarrow{OA}|^2+|\overrightarrow{OB}|^2+2\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=|\overrightarrow{OC}|^2$
$\iff |\overrightarrow{OA}|^2+|\overrightarrow{OB}|^2+2|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|\cos AOB=|\overrightarrow{OC}|^2$
$\iff 2R^2+2R^2\cos AOB=R^2$
$\iff \cos AOB=-\frac{1}{2} \iff \angle AOB=\frac{2\pi}{3}$
円周角の定理より、
$\angle ACB=\frac{\pi}{3}$
(2)
$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=-\overrightarrow{OB}$
$\iff \angle ABC=\frac{\pi}{3}$
以上より正三角形である。

点A,B,C,Dが同一平面上であることの証明

$\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OD}+s\overrightarrow{DB}$
を満たすs,tが存在すればよい。その際は、
すべてを左辺に寄せて、零ベクトルになるような恒等式としての値としてt,sを定める。

$(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})\cdot (\overrightarrow{p}-\overrightarrow{b})=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$ であらわされる式。

$\overrightarrow{p}=\left( \begin{array}{c} X \\ Y \end{array}\right)$ とし、
$\overrightarrow{a}=a\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}\right),\overrightarrow{b}=b\left( \begin{array}{c} \cos\theta \\ \sin\theta \end{array}\right)$ と表すと、
与式は
$\left( \begin{array}{c} X-a \\ Y \end{array}\right)\cdot \left( \begin{array}{c} X-b\cos\theta \\ Y-b\sin\theta \end{array}\right) =\left( \begin{array}{c} a \\ 0 \end{array}\right)\cdot \left( \begin{array}{c} b\cos\theta \\ b\sin\theta \end{array}\right)$
$\iff \left( X-\frac{a+b\cos\theta}{2}\right)^2+\left( Y-\frac{b\sin\theta}{2}\right)^2=\frac{a^2+2ab\cos\theta +b^2}{4}$
より、円になる。

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最終更新：2012年07月03日 11:41

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