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確率

実測値に基づくもの

男子が生まれる確率:0.52
画鋲の針が上を向く確率:0.65

マーク式の確率

センター数学における場合の数
センター数学における場合の数2?

$n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A \cap B)$

ド・モルガンの定理

$\overline{(A\cap B)}=\overline{A}\cup \overline{B}$
$\overline{(A\cup B)}=\overline{A}\cap \overline{B}$

全て網羅する確率

区別できるn枚のカードをn回引く時、
全てのカードを引く確率は、
選ぶ順番が $n!$ で、全ての場合の数が $n^n$ だから、
$\frac{n!}{n^n}$

デュース

いづれかが2勝したら優勝のとき、
その勝敗が決まるのは偶数回目であり、
互いに同点になるのも偶数回目である。
したがって、A,Bがそれぞれp,qの確率で勝つとすると、
2回目に引き分けになっている確率は、
$_2C_1pq$ であるから、
2n回目に引き分けになっている確率は、
$(2pq)^n$
2n+2回目にAが勝つ確率は、
$(2pq)^n\times p^2$

じゃんけん

n人がじゃんけんをしたばあい、
勝敗が決まる確率を求める。
まず、k人 $(1\lek\le n-1)$ が勝つ(あいこはいない)とすると、
その勝ち方には、勝つ人と何を出すかによって、
$_nC_k\cdot 3$ 通りある。
よって、k人が勝つ確率は $p(k)=\frac{_nC_k\cdot 3}{3^n}=\frac{_nC_k}{3^{n-1}}$
となる。よって、誰かしらが勝つ、つまり勝敗が決まる確率は、
$\sum_{k=1}^{n-1}p(k)=\frac{1}{3^{n-1}}(_nC_1+_nC_2+...+_nC_{n^1})=\frac{1}{3^{n-1}}\{(1+1)^n-2\}=\frac{2^n-2}{3^{n-1}}$

これより、あいこになる確率は、
$1-\frac{2^n-2}{3^{n-1}}=\frac{3^{n-1}-2^n-2}{3^{n-1}}$

倍数問題

一桁のカード問題

カードに数値1,2,3,4,5,6,7,8,9を書き、
引いてカードの数値を確認したあと、戻す。
n回目に引いたカードの値を $a_n(=1,2,3,4,5,6,7,8,9)$ とする

$\sum_{k=1}^n a_n$ がtの倍数にならない確率をp(k)と表す。

(1)k=2のとき
2の倍数にならないのは1,3,5,7,9のみを引いた場合なので、
$p(2)=\left( \frac{5}{9} \right)^n$

(2)k=3のとき
３の倍数にならないのは1,2,4,5,7,8のみを引いた場合なので、
$p(3)=\left(\frac{2}{3} \right)^n$

(3)k=4のとき
４の倍数にならないのは、
n回奇数であるか、2or6が1回で(n-1)回奇数であればよいので、
n回のうち1回だけは、1,2,3,5,6,7,9のうちから1つ選び、(n-1)回は1,3,5,7,9から選ぶので、
$p(4)= _n C_1 \left(\frac{7}{9}\right)\cdot \left(\frac{5}{9}\right)^{n-1}$

(4)k=5のとき
5の倍数にならないのは1,2,3,4,6,7,8,9のみを引いた場合なので、
$p(5)=\left( \frac{8}{9} \right)^n$

サイコロと割り切れる数

サイコロをn回振って、出た目の積Xがkで割り切れない確率p(k)。
(kで割り切れる確率は1-p(k)で求まる。)
なお、1で割り切れない数はないので、 $p(1)=0$
$X=2^l\cdot 3^m\cdot 5^n$ より、X=7以上の素数Pについて、 $p(P)=1$

(1)k=2のとき
全て奇数であればよいので、
$p(2)=\left(\frac{1}{3}\right)^n$
よって、2の倍数になる確率は $1-\left(\frac{1}{3}\right)^n$
(2)k=3のとき
全て1,2,4,5のどれかであればよいので、
$p(3)=\left(\frac{2}{3}\right)^n$
(3)k=4のとき
n回奇数が出るか、(n-1)回奇数が出て,1回2or6が出ればよいので、
$p(4)=\left(\frac{1}{2}\right)^n+nC_1\left(\frac{1}{3}\right)\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$
(4)k=5のとき
全て1,2,3,4,6のどれかであればよいので、
$p(5)=\left(\frac{5}{6}\right)^n$
(5)k=6のとき
n回1,2,4,5のどれか出るか、n回1,3,5のどれかが出ればよいので、
二つの事象が重複するのは、n回1,5だけが出た場合であるから、
$p(6)=\left(\frac{2}{3}\right)^n+\left(\frac{1}{2}\right)^n-\left(\frac{1}{3}\right)^n$
(6)k=8のとき
n回奇数が出るか、(n-1)回奇数が出て1回4が出るか、(n-2)回奇数が出て2回2or6が出た場合であるから、
これらは全て排反であるため、
$p(8)=\left(\frac{1}{2}\right)^n+_nC_1\left(\frac{1}{6}\right)\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}+_nC_2\left(\frac{1}{3}\right)^2\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-2}$
(7)k=9のとき
n回1,2,4,5が出るか、(n-1)回1,2,4,5が出て1回だけ3,6のいずれかが出ればよいので、
$p(9)=\left(\frac{2}{3}\right)^n+_nC_1\left(\frac{1}{3}\right)\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}$
(8)k=10のとき
n回1,2,3,4,6が出るか、n回1,3,5が出るかなので、重複するのはn回1,3が出る場合だから、
$p(10)=\left(\frac{5}{6}\right)^n+\left(\frac{1}{2}\right)^n-\left(\frac{1}{3}\right)^n$
(9)k=12のとき
3の因子がないか、4の因子がないかのいずれかを満たせばいいから、
重複する、3の因子も4の因子も出ないものは、要するに1,2,5から2が1回未満になるように選ぶ確率だから、
$p(12)=p(3)+p(4)-\left\{ \left(\frac{1}{3}\right)^n + _nC_1\left(\frac{1}{6}\right)\cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}\right\}$

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最終更新：2013年02月28日 15:07

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