簡易座標

［簡易座標］

　三角形の頂点をA（X1，Y1），B（X2，Y2），C（X3，Y3）とする。

①頂点Aを原点に固定する
　A（0，0） ： X1＝0，Y1＝0
②頂点Bを正のX軸上に配置する
　B（X2，0） ： X2＞0，Y2＝0
　X2＝0では原点に重なるため、三角形にならない
③頂点Cを第1象限～第2象限に配置する
　C（X3，Y3） ： X3＞0，Y3＞0
　Y3＝0ではX軸に重なるため、三角形にならない
　Y3＜0の三角形はX軸対称のため、第3象限～第4象限は考えない

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X1＝0，Y1＝0
X2＝c，Y2＝0
X3＝cos(A)/b，Y3＝sin(A)/b

　sin(A)＝Y3/b
　cos(A)＝X3/b
　tan(A)＝Y3/X3

　sin(B)＝Y3/a
　cos(B)＝－(X2－X3)/a
　tan(B)＝－Y3/(X2－X3)

　sin(C)＝c・sin(A)/a
　　　　＝X2・(Y3/b)/a
　　　　＝X2・Y3/ab
　　　　＝(X2・Y3)/√[{(X2－X3)^2＋Y3^2}(X3^2＋Y3^2)]
　cos(C)＝(a^2＋b^2－c^2)/2ab
　　　　＝[{(X2－X3)^2＋Y3^2}＋(X3^2＋Y3^2)－X2^2]/2√[{(X2－X3)^2＋Y3^2}(X3^2＋Y3^2)]
　　　　＝{(X2^2－2X2・X3＋X3^2＋Y3^2)＋(X3^2＋Y3^2)－X2^2}/2√[{(X2－X3)^2＋Y3^2}(X3^2＋Y3^2)]
　　　　＝(－2X2・X3＋2X3^2＋2Y3^2)/2√[{(X2－X3)^2＋Y3^2}(X3^2＋Y3^2)]
　　　　＝(X3^2－X2・X3＋Y3^2)/√[{(X2－X3)^2＋Y3^2}(X3^2＋Y3^2)]
　tan(C)＝sin(C)/cos(C)
　　　　＝(X2・Y3)/(X3^2－X2・X3＋Y3^2)

sin(2Θ)＝2sin(Θ)cos(Θ)
　sin(2A)＝2sin(A)cos(A)＝2(X3・Y3)/b^2
　sin(2B)＝2sin(B)cos(B)＝－2Y3（X2－X3）/a^2
　sin(2C)＝2sin(C)cos(C)＝2(X2・Y3)(X3^2－X2・X3＋Y3^2)/{(X2－X3)^2＋Y3^2}(X3^2＋Y3^2)

a＝√{(X2－X3)^2＋Y3^2}
b＝√(X3^2＋Y3^2)
c＝X2

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垂心：
X＝{－X2・Y3/(X2－X3)＋X3・X2・Y3/(X3^2－X2・X3＋Y3^2)}/{Y3/X3－Y3/(X2－X3)＋(X2・Y3)/(X3^2－X2・X3＋Y3^2)}
Y＝{Y3・X2・Y3/(X3^2－X2・X3＋Y3^2)}/{Y3/X3－Y3/(X2－X3)＋(X2・Y3)/(X3^2－X2・X3＋Y3^2)}

外心：
X＝{－2X2・Y3（X2－X3）/{(X2－X3)^2＋Y3^2}＋X3・sin(2C)}/{2(X3・Y3)/(X3^2＋Y3^2)－2Y3（X2－X3）/{(X2－X3)^2＋Y3^2}＋2(X2・Y3)(X3^2－X2・X3＋Y3^2)/{(X2－X3)^2＋Y3^2}(X3^2＋Y3^2)}
Y＝{Y3・sin(2C)}/{2(X3・Y3)/(X3^2＋Y3^2)－2Y3（X2－X3）/{(X2－X3)^2＋Y3^2}＋2(X2・Y3)(X3^2－X2・X3＋Y3^2)/{(X2－X3)^2＋Y3^2}(X3^2＋Y3^2)}

内心：
X＝{X2√(X3^2＋Y3^2)＋X2・X3}/(√{(X2－X3)^2＋Y3^2}＋√(X3^2＋Y3^2)＋X2)
Y＝X2・Y3/(√{(X2－X3)^2＋Y3^2}＋√(X3^2＋Y3^2)＋X2)

傍心：
Xα＝{X2√(X3^2＋Y3^2)＋X2・X3}/(－√{(X2－X3)^2＋Y3^2}＋√(X3^2＋Y3^2)＋X2)
Yα＝X2・Y3/(－√{(X2－X3)^2＋Y3^2}＋√(X3^2＋Y3^2)＋X2)
Xβ＝{－X2√(X3^2＋Y3^2)＋X2・X3}/(√{(X2－X3)^2＋Y3^2}－√(X3^2＋Y3^2)＋X2)
Yβ＝X2・Y3/(√{(X2－X3)^2＋Y3^2}－√(X3^2＋Y3^2)＋X2)
Xγ＝{X2√(X3^2＋Y3^2)－X2・X3}/(√{(X2－X3)^2＋Y3^2}＋√(X3^2＋Y3^2)－X2)
Yγ＝－X2・Y3/(√{(X2－X3)^2＋Y3^2}＋√(X3^2＋Y3^2)－X2)

重心：
X＝(X2＋X3)/3
Y＝Y3/3

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⊿ABCの面積：
S＝c・b・sin(A)/2＝(X2・Y3)/2

外接円の半径：
R＝abc/4S
　＝[√{(X2－X3)^2＋Y3^2}・√(X3^2＋Y3^2)・X2]/{4(X2・Y3)/2}
　＝√[{(X2－X3)^2＋Y3^2}(X3^2＋Y3^2)]/2Y3

内接円の半径：
r＝2S/(a＋b＋c)
　＝{2(X2・Y3)/2}/[√{(X2－X3)^2＋Y3^2}＋√(X3^2＋Y3^2)＋X2]
　＝X2・Y3/[√{(X2－X3)^2＋Y3^2}＋√(X3^2＋Y3^2)＋X2]

傍接円の半径：
rα＝2S/(－a＋b＋c)
　X2・Y3/[－√{(X2－X3)^2＋Y3^2}＋√(X3^2＋Y3^2)＋X2]
rβ＝2S/(a－b＋c)
　X2・Y3/[√{(X2－X3)^2＋Y3^2}－√(X3^2＋Y3^2)＋X2]
rγ＝2S/(a＋b－c)
　X2・Y3/[√{(X2－X3)^2＋Y3^2}＋√(X3^2＋Y3^2)－X2]

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• 重心：（（X2＋X3）/3，Y3/3）

　辺ABの中点（X2/2，0）
　頂点Cと辺ABの中点を結ぶ線分を、2:1に内分する点＝重心

　X＝（1×X3＋2×X2/2）/（2＋1）＝（X2＋X3）/3
　Y＝（1×Y3＋2×0）/（2＋1）＝Y3/3

　一般的には
　X＝（X1＋X2＋X3）/3
　Y＝（Y1＋Y2＋Y3）/3

• 垂心：（X3，X3（X2-X3）/Y3）

　頂点Cから辺ABに下した垂線の足（X3，0）であり、垂心はx＝X3を通る
　頂点Aから辺BCに下した垂線は、辺ABの傾きY3/（X3－X2）と直交するため、垂心は直線y＝｛－（X3-X2）/Y3｝x上にある

　X＝X3
　Y＝X3（X2-X3）/Y3

　一般的には
　X＝
　Y＝

　狭義：頂点A, B, Cから対辺BC, CA, ABに下ろした垂線の足をD, E, Fとするとき、△DEFを△ABCの垂足三角形（orthic triangle）
　広義：点Pから各辺BC, CA, ABに下ろした垂線の足をD, E, Fとするとき、△DEFを点Pの垂足三角形（pedal triangle）
　　　　　点Pが垂心のとき、狭義の垂足三角形と一致する

　鋭角三角形の垂心は、垂足三角形（垂線の足を頂点とする三角形）の内心に一致する
　鈍角三角形の垂心は、垂足三角形（垂線の足を頂点とする三角形）の傍心に一致する
　直角三角形の垂心は、直角の頂点に一致する

　3つの傍心を頂点とする三角形の垂心は、元の三角形（垂足三角形）の内心に一致する

• 外心：

　辺ABの中点（X2/2，0）であり、外心は辺ABの垂直二等分線であるx＝X2/2を通る
　辺ACの中点（X3/2，Y3/2）であり、辺ACの傾きはY3/X3である
　外心は辺ACの垂直二等分線であるy－Y3/2＝－（X3/Y3）（x－X3/2）上にある

　X＝X2/2
　Y＝X3（X3-X2）/（2・Y3）＋Y3/2

　一般的には
　X＝
　Y＝

• 内心：

　X＝
　Y＝

　一般的には
　X＝
　Y＝

• 傍心：

　X＝
　Y＝

　一般的には
　X＝
　Y＝

　傍心同士は、外接円上にある
　内心と傍心の中点は、外接円上にある
　ルーリエの定理：3つの傍接円の半径の逆数の和は、内接円の半径の逆数に等しい
　内心は傍心3点を結んだ三角形の垂心

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三角形の5心
三角形のその他の中心
座標解析

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