3頂点から対辺に下ろした垂線の足と、そこからさらに他の2辺に下ろした垂線の足、合計6つの垂線の足を通る円
六点円の中心は、外心・ルモワーヌ点らと同じ直線上
六点円の半径は、R・√（sin^2 A・sin^2 B・sin^2 C＋cos^2 A・cos^2 B・cos^2 C）となる（R＝外接円の半径）
3辺の中点、3頂点から対辺に下ろした垂線の足、垂心と3頂点の中点、合計9つの垂線の足を通る円
九点円の中心は、オイラー線上の垂心と外心の中点
九点円の半径は、外接円の半分となる
第1フェルマー点・外心・九点円の中心・第2フェルマー点を通る円
三角形の外心・重心・垂心を通る直線
外心Oと重心Gと垂心Hの間では、2OG＝GHが常に成り立つ
直角三角形：オイラー線は、直角の頂点と斜辺の中点を結ぶ線となる（外心が斜辺の中点であり、垂心が頂点である）
二等辺三角形：オイラー線は、頂角の中線となる（この直線は以下の全ての性質を持つため、外心・重心・垂心がこの直線上に来る）
頂角に対する中線，頂角から下ろした垂線，辺の垂直二等分線，頂角の二等分線（内心も同一線上にある）
正三角形：外心・重心・垂心が一致するため、オイラー線は定義できない
傍心三角形：三角形の3つの傍心が作る三角形のオイラー線は、元の三角形の外心と内心を結ぶ直線となる
内接円が各辺と接する点（TA，TB，TC）と3頂点を結ぶ直線（A TA，B TB，C TC ）は、ジェルゴンヌ点で交わることから、
不等辺三角形：「ABとTA TBの交点」、「CAとTC TAの交点」、「BCとTB TCの交点」は、同一直線上にある
二等辺三角形：辺の組のうち1つは平行になるが、残りの2点を結ぶことで直線が定義できる
正三角形：ジェルゴンヌ線は定義できない
外接円上の点から各辺におろした垂線の足を結んだ直線
シムソンの定理：三角形の外接円上の点Pから三角形の各辺におろした垂線と辺の交点（L，N， M）を全て結ぶと同一直線になる
三角形の1つの頂点をPとすると、Pに対するシムソン線は、Pから対辺に下ろした垂線になる
Pを外接円の中心に対して頂点と対称の位置に取ると、Pに対するシムソン線は、辺の1つと一致する
Oを外接円の中心、PとP'を外接円上の点とすると、Pに対するシムソン線とP'に対するシムソン線がなす角は、POP'の半分に等しい
PとP'が直径の両端の場合、2本のシムソン線は垂直に交わり、その交点は九点円上にある
三角形の垂心をHとすると、Pに対するシムソン線は、PHの中点を通る
共通の外接円を持つ2つの三角形では、Pに対する2本のシムソン線が成す角は、Pによらず一定の値となる
（第1/第2）ナポレオン点：元の三角形の頂点と、向かい合う（外/内）正三角形の中心（重心）を結ぶ、3本の直線の交点
（第1/第2）フェルマー点：元の三角形の頂点と、向かい合う（外/内）正三角形の頂点を結ぶ、3本の直線の交点
第1フェルマー点・第1ナポレオン点・外心は、同一直線上にある
第1フェルマー点・第2ナポレオン点・フォイエルバッハの9点円の中心は、同一直線上にある
第1フェルマー点・外心・九点円の中心・第2フェルマー点は、同一円周上（レスター円）にある
［三角形の心の種類］
- 六点円の中心：六点円の中心は、外心・ルモワーヌ点らと同一直線上
- 九点円の中心：九点円の中心は、オイラー線上の垂心と外心の中点（同一直線上）
フォイエルバッハの定理：内接円と傍接円は、九点円と接する
フォイエルバッハ点：九点円と内接円の接点
三角形の3個の頂点および垂心の4点の中から、どの3点を選んでも、その三角形に対する九点円は同じ
外接円の対蹠点上にある2点から導かれる2本のシムソン線は、九点円上で直交
三角形の内心と傍心の中点は、外接円上にある
三角形の傍心同士の中点は、外接円上にある
三角形の各辺を1辺とする正三角形の中心（L，M，N）と、元の三角形の頂点（A，B，C）を結ぶ、3本の直線（AL，BM，CN）の交点
ナポレオン点は、元の三角形の3頂点・重心・垂心を通る、双曲線上にある
・第1ナポレオン点：元の三角形の頂点と、向かい合う外正三角形の中心（重心）を結ぶ、3本の直線の交点
元の三角形の頂点と、向かい合う第1ナポレオン三角形の頂点を結ぶ、3本の直線の交点
・第2ナポレオン点：元の三角形の頂点と、向かい合う内正三角形の中心（重心）を結ぶ、3本の直線の交点
元の三角形の頂点と、向かい合う第2ナポレオン三角形の頂点を結ぶ、3本の直線の交点
ナポレオンの三角形：三角形の各辺を1辺とする正三角形を描き、3つの正三角形の重心同士を結ぶと、正三角形となる
・第1ナポレオン三角形：各辺の外側に正三角形を描き、それら外正三角形の中心（重心）を結ぶ三角形
・第2ナポレオン三角形：各辺の内側に正三角形を描き、それら内正三角形の中心（重心）を結ぶ三角形
ナポレオンの定理：三角形の各辺を1辺とする正三角形を、元の三角形の外側に描く場合も内側に描く場合も、
いずれも正三角形（ナポレオン三角形）となる
内外2つの正三角形の面積の差（＝第1ナポレオン三角形－第2ナポレオン三角形）は、元の三角形の面積と等しくなる
ナポレオン三角形の重心は、元の三角形の重心と一致する
三角形の各辺を1辺とする正三角形の頂点（P，Q，R）と、元の三角形の頂点（A，B，C）を結ぶ、3本の直線（AP，BQ，CR）の交点
AP＝BQ＝CR＝AF＋BF＋CF が成り立つ
120度以上の内角を持たない三角形では、
フェルマー点Fは三角形の内部にあり、∠AFB＝∠BFC＝∠CFA＝120°で、AF＋BF＋CFが最小となりシュタイナー点と一致する
3つの正三角形（△ABR，△BCP，△CAQ）の外接円の交点
ナポレオンの定理：3つの外正三角形の外接円の中心（外心＝重心）は、正三角形を描く（ナポレオン三角形）
・第1フェルマー点：元の三角形の頂点と、向かい合う外正三角形の非共有の頂点を結ぶ、3本の直線の交点
・第2フェルマー点：元の三角形の頂点と、向かい合う内正三角形の非共有の頂点を結ぶ、3本の直線の交点
フェルマー点から3辺に下ろした垂線の足を結ぶ垂足三角形は、正三角形となる
レスター円：第1フェルマー点・外心・九点円の中心・第2フェルマー点は、レスター円の円周上にある
平面上の3 点（A，B，C）からの距離の和が最小になる点＝三角形の3頂点からの距離の合計が最小になる点
①120度以上の角を持たない三角形：3頂点からの距離の合計が最も小さくなる点
フェルマー点Fは三角形の内部にあり、∠AFB＝∠BFC＝∠CFA＝120°を満たし、シュタイナー点と一致する
フェルマー点Fでは、AF＋BF＋CFが最小となる（重心Pでは、AP^2＋BP^2＋CP^2が最小となる）
②120度以上の角を持つ三角形：最大角を持つ頂点
・第1ブロカール点：△ABCの内部の点Ωにおいて、∠ΩAB＝∠ΩBC＝∠ΩCA＝ωを満たす点（ω＝ブロカール角）
・第2ブロカール点：△ABCの内部の点Ωにおいて、∠ΩAC＝∠ΩCB＝∠ΩBA＝ωを満たす点（ω＝ブロカール角）
（第1ブロカール角と第2ブロカール角は、互いに逆向きの角度）
2つのブロカール点と外心との距離は等しい
ブロカール円：外心とルモワーヌ点を直径の両端とする円であり、2つのブロカール点はブロカール円上にある
第1ブロカール点Pでは、△PAB：△PBC：△PCA＝CA^2・AB^2：AB^2・BC^2：BC^2・CA^2＝（1/BC^2）：（1/CA^2）：（1/AB^2）
第2ブロカール点Qでは、△QAB：△QBC：△QCA＝AB^2・BC^2：BC^2・CA^2：CA^2・AB^2＝（1/CA^2）：（1/AB^2）：（1/BC^2）
- ジェルゴンヌ点：内接円と各辺の接点と、対角の3頂点を結ぶ線の交点
ジェルゴンヌ三角形：内接円が各辺と接する点（TA，TB，TC）を頂点とした三角形⊿TA TB TC
元の三角形（⊿ABC）の内接円は、ジェルゴンヌ三角形（⊿TA TB TC）の外接円になる
3直線（A TA，B TB，C TC ）は、ジェルゴンヌ点で交わる
△ABG：△BCG：△CAB＝（AE・BF）：（BF・CD）：（CD・AE）＝（1/CD）：（1/AE）：（1/BF） が成り立つ
- ナーゲル点：傍接円と各辺の接点J，K，Lと、対角の3頂点を結ぶ直線AJ，BK，CLの交点
重心G，内心I，ナーゲル点Nは、同一直線上にあり、IG：GN=1：2である
△ABN：△BCN：△CAN＝CW：AX：BV が成り立つ
マルファッティ円：三角形に2点で内接し、かつ互いに接する3つの円
マルファッティの定理（三斜三円術）：
互いに外接する3円を三角形に内接させた場合、3辺の値から円の半径を求めることができる
3辺の長さが既知の三角形に2辺ずつ内接し、かつ互いに外接する3円の半径を求める方法
マルファッティの問題は、安島直円が西洋より先に「南山子三円術」に著していた
・第1安島-マルファッティ点：2つのマルファッティ円の接点と、2円が共通に接する辺の対角の3頂点を結ぶ直線の交点
・第2安島-マルファッティ点（キンバリング点）：2つのマルファッティ円の接点と、2円が共通に接する辺の傍接円の3傍心を結ぶ直線の交点
・第1ソディ点：三角形の各頂点を中心とする円が互いに外接している場合、その3円に外接する円の中心
・第2ソディ点：三角形の各頂点を中心とする円が互いに外接している場合、その3円を内接する円の中心
ソディの公式（デカルトの円定理）：4円の半径をa，b，c，dとし、その逆数（＝曲率）をそれぞれA，B，C，Dとおいた場合、
2（A^2＋B^2＋C^2＋D^2）＝（A＋B＋C＋D）^2 が成り立つ
ただし、A，B，Cの符号は正で、円Dが3円に外接する場合はDの符号は正、円Dが3円を内接する場合はDの符号は負とする
外心に対して、垂心と対称的な位置にある点
外心に対して垂心と対称位置にあるため、オイラー線上にある
内心とジェルゴンヌ点を結ぶ直線上にもある
AL^2－BC^2 ＝ BL^2－CA^2 ＝ CL^2－AB^2 が成り立つ（L＝ド・ロンシャン点）
- ルモアーヌ点（ルモワーヌ点/Symmedian Point）：
3つの中線AD，BE，CFを3つの角の二等分線AP，BQ，CRについて対称移動させたものをAD'，BE'，CF'とする場合、この3つの線分の交点
△ABL：△BCL：△CAL=AB^2：BC^2：CA^2 が成り立つ
△ABCのAB，BC，CAを一辺として、対角の頂点の同側の正方形、対角の頂点と対側の正方形を作成すると、
同側正方形の対辺PQ，RS，TUを3辺に持つ△A'B'C'と、対側正方形の対辺P'Q'，R'S'，T'U'を3辺に持つ△ABC''は、△ABCと相似
AA'A，BB'B，CC'C''を結ぶ直線は、△ABCのルモアーヌ点Lで交わる
最終更新：2013年05月08日 03:21
