13.
魔理沙とアリスをルジャンドル変換
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魔理沙と
アリスを
ルジャンドル
変換
幽々子と紫編の
塩辛の問題編で
「うｐ主、後で
解説ヨロ」とい
うコメがあった
ので、
たぶん誰も見な
いだろうと思い
つつ、解説を
作ってみた。
離脱時は、
「ピチューン」
でよろしく
なお独学なの
で、
間違えがあった
ら指摘コメよろ
しく
後で、NG設定に
しときますから
※ただ、説明用
にちょっと解釈
を曲げたりして
る箇所がありま
すが、そこは勘
弁
必要予備知識
レベル
中学1年レベル
の数学知識
解説
まず、元の問題
下に凸な関数W(J)
と、傾きφの直線
との差が、最大に
なる点Jは各φ毎
に決まる。それを
J(φ)と置く。
W(J)のルジャンドル
変換を
－γ(φ)≡max{φJ－
W(J)}＝{φJ－W(J)}
｜J=J(φ)
と定義する。
この変換を2度行う
と、同形に戻ること
を示せ。
まず記号の
見方から
y=3x
こんな式は知って
いると思う。
xが5なら、
y＝3×5、
計算すると、
y＝15になる
ｘが10なら、
ｙ＝3×10＝30
になる
ｘが1000億兆な
ら、3を掛けて、
ｙ＝3000億兆
ｘがいくつかで、
ｙの値が決まる。
これをy(x)と書く
ことにする。
ｘが5なら、
y(5)＝3×5＝15
である。
さて、
問題文のW(J)
というのは、
y(x)と同じこと。
W→ｙ
J→ｘ
とすれば分かりや
すい。
例えば、Jの値が3な
ら、W(J)がこんな感
じになる
ナゼ、W、Jを使うか
というと、この場
合、その方が難しく
見えるという意外
に、意味は無い。
次、
『傾きφの直線』
今のy=3xの、3の部分
をφといっている。
次、
『～との差』
曲線W(J)と直線φJと
の差
たとえば、J=5の位置
で、コレだけ差がある
次、『差が、最大に
なる点Jは各φ毎に決
まる。』
φが3のときは、Jが
５のとき、差が一番
大きくなる
φが15のときは、Jは
23で、一番大きくな
る
というように、φが
いくつかでJの値が決
まる。
次、『それをJ(φ)と
置く。』
ｙ＝3ｘ→y(x)という
のを最初にやってい
る。
Jとφも同じこと
J＝3φ→J（φ）
この3はどこから！と
いうのは無し。
3でも100でも0.002で
も1000億兆でも良い
のだ。関係無い！
さて本題、
「W(J)のルジャンドル
変換を
－γ（φ）≡max｛φJ－W
(J)｝＝｛φJ－W(J)｝｜
J＝J（φ）
と定義する。」
まず、「ルジャンド
ル変換」という言葉
は、問題を解くの
に、まったく関係な
いので無視する。
最初から見ると、
『－γ（φ）』
γ＝3φ→γ（φ）
でＯＫ？
それの頭に－をくっ
付けただけ。
－γ（φ）
γて何？というのは
無し。
αでもωでも￥でも
〒でも良いのだ。関
係無い！
『max｛φJ－W(J)｝』
要は、「～との差」
で説明したやつ。
直線φJから曲線W(J)
の値を引いた差で
す。
で、問題文で、その
中で最大の点といっ
ているので、maxを付
けている。
φJ－W(J)の計算を
Jの値を変えて、
いっぱいやって、
一番大きい数が答えに
なる。
補足『直線φJ』
ｙ＝3ｘでいうと、
3→φ、ｘ→Jといって
いるので
3ｘ→φJ
φは直線の傾きです。
『｛φJ－W(J)｝｜J=J(φ)』
まず右側の、｜J=J(φ)です
が、
｜より右は条件です。
J＝J(φ)のときのみ有効
な数式。
要はJにJ(φ)を代入する
んだったら、この式はOK
ということ。
で、J(φ)て？
問題文で、最大の値をJ
(φ)にすると書いてあ
る。だから最大の値で
す。
次～、左側
実は説明不要。最初
の式からmaxという字
を抜いただけ。
ナゼ抜いたって？
さっき、JをJ(φ)、つま
り最大の値にするといっ
たから。
なので、元が最大なら、
maxが意味なくなるので外
した。
ここで例題
φJを5、
W(J)を2とおく。
－γ(φ)＝{φJ＝W(J)}
なので、
－γ(φ)＝{5-2}
－γ(φ)＝3
－γ(φ)は3です。
ね、簡単でしょ☆
さて、用語、数式の
説明は大体終わり。
なお、ここまでの
説明は、問題を解
くのにそれほど重
要じゃあない。
1度、覚えたことを全
部忘れましょ～☆
最後の質問文
「この変換を2度行う
と、同形に戻ること
を示せ。」
W(J)について考えま
す。
－γ(φ)＝｛φJ－W(J)｝が
変換で、
γ(φ)→▲
φJ→■
W(J)→◎
と記号を変えちゃうと、
－▲＝■－◎
になります。
■から◎を引くと、
－▲になりマ～ス☆
問題は、◎を▲に変
えてから、▲を同じ
式で◎に変えること
が出来るかどうか教
えてくれ！
と言ってます。
これから、式の中の
◎と▲の位置に注目
さっきの式、
－▲＝■－◎
■を左に移すと、
－■－▲＝－◎
左右ひっくり返すと、
－◎＝－■－▲
これが、▲に対する
ルジャンドル変換です！
－◎＝－■－▲
－■から▲を引くと、
－◎になりマ～ス☆
あれ、◎に戻っ
ちゃった☆
そうです、◎を変換
すると▲に、▲を変
換すると◎になりま
す。
で、◎、▲、■の記号を
元に戻すと、
『｛（－Jφ－γ(φ)）｜
φ=φ(J)｝＝－W(J)
となり、γ（φ）のルジャ
ンドル変換がW(J)となっ
て元に戻る。』という書
き方になる。
◎、▲、■の記号に
変えて考えれば、3個
の積み木を右の箱に
入れたり左の箱に入
れたりしてるだけな
んです。
問題は、
「◎、▲、■の３つ
の積み木がありま
す。
赤と青の２つの箱が
あります。
■は必ず、青の箱に
入れてください。
青の箱に、◎を入れ
たら、赤の箱には何
が入るでしょうか？
▲しか残ってないの
で、▲が入ります。
では、青の箱に▲を
入れたら、赤の箱に
は何が入るでしょう
か？
◎だけが残っている
ので、◎が入りま
す。」
そう考えると、ある
意味、
1+1の計算より簡単
だったりします。
そもそも計算してな
いし。
あとは、これを数
学っぽく答えるだけ
です。
以上で解説終わり。
お疲れ様でした。
最終更新：2019年07月22日 02:41
