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練習問題解答 - (2009/04/24 (金) 16:27:45) の１つ前との変更点

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**練習問題解答
****1
　加速度と逆方向に$$x$$軸，鉛直上方に$$y$$軸をとると，

$${\hspace{-1.5zw} \displaystyle x = \frac{1}{2}at^2 \atopwithdelims \{. \quad \displaystyle y = v_0 t - \frac{1}{2}gt^2}$$

#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=122&file=S1-5.PNG)

2式より$$t$$を消去すると軌跡の式は次のようになる。
$$\qquad \qquad y = v_0\sqrt{\frac{2x}{a}} - \frac{g}{a} x$$ 　or　$$\left(y+\frac{g}{a}x\right)^2 = \frac{2v_0^2}{a}x$$

座標軸を$$\tan\theta = \frac{a}{g}$$なる角$$\theta$$だけ回転すると，座標変換

$${ x = x^\prime \cos\theta - y^\prime \sin\theta \atopwithdelims\{.  y = x^\prime \,\sin\theta + y^\prime \cos\theta }$$

により，軌跡の式は

$$y^\prime = x^\prime \cot\theta - \frac{g^\prime}{2v_0^2\sin^2\theta}x^{\prime 2}$$

となるが，これは重力加速度が鉛直下方から角$$\theta$$の方向に

$$g^\prime = \sqrt{g^2 + a^2}$$

になったとしたときの斜方投射の軌跡にあたる。

***3
　光時計とともに動く系で光速が$$c$$であるものとすると，静止系から見た光速$$c^\prime$$は

$$c^\prime = \sqrt{c^2+v^2}$$

#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=122&file=S3-4.PNG)

となり，

$$(c^\prime t)^2 = {l_0}^2+(vt)^2$$

より

$$t = \frac{l_0}{\sqrt{{c^\prime}^2-v^2}} = \frac{l_0}{c} = t_0$$

$$t>t_0$$という時間のおくれは，光速を不変とした副作用であることがわかる。上の考察とは逆に静止系での光速を$$c$$とすれば，光時計とともに動く系では$$c^{\prime\prime}=\sqrt{c^2-v^2}$$となり，相対性原理の破たんは明らかである。

***5
　計算するまでもなく，静止系から見たときはAからの所要時間がBからの所要時間よりも長い。しかし，「中央に同時に達した」というT氏の主張に変更は許されないことに注意しよう。同一の場所における同時性が見る系によって変わるということになると，原因が先にあって結果が後におこるという因果律を破ってしまうことになるだろう。同時性が相対的であるのはあくまで離れた別の場所でのできごとについてである。
　すなわち，君の正しい主張はこうだ。

「Aが先に点灯した後，Bが点灯した。結果的に中央には，『同時に』光が到達したのだ。」

#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=122&file=S5-3.PNG)

***6
　$$t^\prime=t=0$$（光の出発）において時刻0をさしていたのは，車内では中央にある時計だけだったのだ。Aの時計はいくらかすすみ，Bの時計はいくらかおくれた時刻をさしている。与式が成立するのは中央の時計だけである。

***7-1
　行列を使ってイッキにいこう。変換は，

$$\left(\begin{array}{c}ct^\prime \\x^\prime\end{array}\right) = \gamma \left(\begin{array}{cc}1 \quad -\beta \\-\beta \quad 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}ct\\x\end{array}\right)$$

だから，逆変換は

$$\left(\begin{array}{c}ct \\x\end{array}\right) = \frac{1}{\gamma(1-\beta^2)} \left(\begin{array}{cc}1 \quad \beta \\ \beta \quad 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}ct^\prime \\x^\prime\end{array}\right) = \gamma \left(\begin{array}{cc}1 \quad \beta \\\beta \quad 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}ct^\prime \\x^\prime\end{array}\right)$$

***7-2
　$$x$$方向に速度$$v$$をもつS'系の原点における経過時間を，S系の時計で測ることを考える。

#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=122&file=S7-4.PNG)


$${\it \Delta}t = t_2 - t_1 = \gamma\left({t_2}^\prime + \frac{v{x_2}^\prime}{c^2}\right) - \gamma\left({t_1}^\prime + \frac{v{x_1}^\prime}{c^2}\right)$$
　　　$$= \gamma({t_2}^\prime - {t_1}^\prime)$$　　　　（∵　$${x_1}^\prime={x_2}^\prime=0$$ ）
　　　$$= \frac{{\it \Delta}t_0}{\sqrt{1-\beta^2}}$$　　　　※観測される側の同位置がポイント！ 

　一方，S'系で$${x_1}^\prime$$，$${x_2}^\prime$$の固定した両端をもつ線分の長さを，S系において時刻$$t$$に測定することを考える。

$${\it\Delta}x_0 = {x_2}^\prime - {x_1}^\prime = \gamma(x_2-vt_2) - \gamma(x_1-vt_1) $$
　　　$$= \gamma(x_2-x_1)$$　　　　　　　　　（∵　$$t_1=t_2=t$$）
　　　$$= \frac{{\it\Delta}x}{\sqrt{1-\beta^2}}$$　　　※観測する側の同時刻がポイント！ 

***8-1

$$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}\quad,\quad \gamma^\prime = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^{\prime 2}}}$$

とする。連続した変換を実行すると，

$$ct^{\prime\prime} = \gamma^\prime(ct^\prime-\beta^\prime x^\prime)$$
　　$$= \gamma^\prime\{\gamma(ct-\beta x)-\gamma\beta^\prime(x-\beta ct)\}$$
　　$$= \gamma\gamma^\prime\{(1+\beta\beta^\prime)ct-(\beta+\beta^\prime)x\}$$

$$x^{\prime\prime} = \gamma^\prime(x^\prime-\beta^\prime ct^\prime) \nonumber$$
　$$= \gamma^\prime\{\gamma(x-\beta ct)-\gamma\beta^\prime(ct-\beta x)\}$$
　　$$= \gamma\gamma^\prime\{(1+\beta\beta^\prime)x-(\beta+\beta^\prime)ct\}$$

しかるに，

$$\gamma\gamma^\prime = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}\sqrt{1-\beta^{\prime 2}}} = \frac{1}{\sqrt{1-(\beta^2+\beta^{\prime 2})+\beta^2\beta^{\prime 2}}}$$
　　　$$= \frac{1}{\sqrt{(1+\beta\beta^\prime)^2-(\beta+\beta^\prime)^2}}$$

したがって，

$$\gamma\gamma^\prime(1+\beta\beta^\prime) = \frac{1}{\sqrt{1-\left(\displaystyle\frac{\beta+\beta^\prime}{1+\beta\beta^\prime} \right)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1-\displaystyle\frac{w^2}{c^2}}}$$
$$\gamma\gamma^\prime(\beta+\beta^\prime) = \frac{\displaystyle\frac{\beta+\beta^\prime}{1+\beta\beta^\prime}}{\sqrt{1-\left(\displaystyle\frac{\beta+\beta^\prime}{1+\beta\beta^\prime}\right)^2}} = \frac{\displaystyle\frac{w}{c}}{\sqrt{1-\displaystyle\frac{w^2}{c^2}}} $$
　　$$\left( \because \quad　w=\frac{u+v}{1+\displaystyle\frac{uv}{c^2}}=\frac{\beta+\beta^\prime}{1+\beta\beta^\prime}\times c\right)$$

ここで，

$$\gamma^{\prime\prime} = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^{\prime\prime 2}}}\quad,\quad \beta^{\prime\prime} = \frac{w}{c}$$　とおけば，
　$$\left\{\begin{array}{l}ct^{\prime\prime} = \gamma^{\prime\prime}(ct-\beta^{\prime\prime} x) \\x^{\prime\prime} = \gamma^{\prime\prime}(x-\beta^{\prime\prime} ct) \end{array}\right.$$

***8-2
速度の$$x$$成分の変換は，

$$w_x = \frac{u_x+v}{1+\displaystyle\frac{u_xv}{c^2}}$$

となることはすぐにわかる。

#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=122&file=S8-3.PNG)

S'系において$$y^\prime$$方向の速度成分$$u_y$$をもつとき，S系から見た$$y$$成分$$w_y$$を求める。簡単のため，これまでと同様に$$t=t^\prime=0$$において，原点O，O'を通過したとすると，

$$\left\{\begin{array}{l}y = y^\prime \\t = \gamma\left(t^\prime+\displaystyle\frac{v}{c^2}x^\prime\right)\end{array}\right.$$

だから，

$$w_y = \frac{y}{t} = \frac{y^\prime}{\gamma\left(t^\prime+\displaystyle\frac{v}{c^2}x^\prime\right)}$$
　　$$= \frac{\displaystyle\frac{y^\prime}{t^\prime}}{\gamma\left(1+\displaystyle\frac{v}{c^2}\frac{x^\prime}{t^\prime}\right)} = \frac{u_y}{\gamma\left(1+\displaystyle\frac{u_xv}{c^2}\right)}$$

***9

$$v^2+w^{\prime 2} = u^2$$
$$\therefore \quad v^2+w^2\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right) = u^2 $$

#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=122&file=S9-4.PNG)

したがって，

$$\frac{m(u)}{m(w)} =\frac{\sqrt{1-w^2/c^2}}{\sqrt{1-u^2/c^2}} = \frac{\sqrt{c^2-w^2}}{\sqrt{c^2-v^2-w^2(c^2-v^2)/c^2}} = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$$

***X-1

$$ds^{\prime 2} = dx^{\prime 2}+dy^{\prime 2}+dz^{\prime 2}$$
　　$$= (dx\cos\theta + dy\sin\theta)^2 + (-dx\sin\theta + dy\cos\theta)^2 + dz^2$$
　　$$= dx^2 + dy^2 + dz^2 = ds^2$$

***X-2
$$(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})^2 = (\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) = a^2 + 2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} + b^2$$
ここで，$$(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})^2$$，$$a^2$$，$$b^2$$は不変量だから，$$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}$$は不変量のはずである。

***X-3
$$\cosh\alpha + \sinh\alpha = e^\alpha = \gamma(1 + \beta) =\sqrt{\frac{1 + \beta}{1 - \beta}}$$

したがって，

$$\alpha = \log\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}$$

***X-4

$$ds^{\prime 2} = dct^{\prime 2}-dx^{\prime 2}-dy^{\prime 2}-dz^{\prime 2}$$
　　$$= \gamma^2(dct-\beta dx)^2-\gamma^2(dx-\beta dct)^2-dy^2-dz^2$$
　　$$= \gamma^2(1-\beta^2)(dct^2-dx^2)-dy^2-dz^2$$
　　$$= dct^2-dx^2-dy^2-dz^2 = ds^2$$

***X-5
　S'系における速度$$\boldsymbol{u}=(u_x,u_y,0)$$がS系から見てどうなるかを考える。
S'系における4元速度は，

#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=122&file=SX-3.PNG)

$$u^\prime = (\gamma_uc,\gamma_u\boldsymbol{u})\quad , \quad \gamma_u=\frac{1}{\sqrt{1-u^2/c^2}}$$

である。これをS系から見たとき，

$$u = (\gamma_wc,\gamma_w\boldsymbol{w})\quad,\quad \gamma_w=\frac{1}{\sqrt{1-w^2/c^2}}$$

となるとしよう。ローレンツ変換（S' → S）により，

$$\left\{\begin{array}{l}\gamma_wc = \gamma(\gamma_uc+\beta\gamma_uu_x) = \gamma\gamma_u(c+vu_x/c)\\ \gamma_ww_x = \gamma(\gamma_uu_x+\beta\gamma_uc) = \gamma\gamma_u(u_x+v)\\ \gamma_ww_y = \gamma_uu_y\quad,\quad \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}\quad,\quad \beta=v/c\end{array}\right.$$

第1式より，

$$\gamma_w = \gamma\gamma_u\left(1+\frac{u_xv}{c^2}\right)$$

ゆえに第2式より，

$$w_x = \frac{\gamma\gamma_u}{\gamma_w}(u_x+v) = \frac{u_x+v}{1+\frac{u_xv}{c^2}}$$

第3式より，

$$w_y = \frac{\gamma_u}{\gamma_w}u_y = \frac{u_y}{\gamma\left(1+\frac{u_xv}{c^2}\right)}$$

なお，$$z$$成分がある場合も$$y$$成分と同じ形になる。

***X-6
#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=122&file=SX-4.PNG)
図のA，Bどちらで考えても同じだが，Aの場合$$\boldsymbol{p}$$の向きに注意！　ここではBで考えよう。
モメナジーの変換は，

$$\left\{\begin{array}{l}E^\prime/c = \gamma(E/c-\beta p) \\p^\prime = \gamma(p-\beta E/c)\end{array}\right.$$

だが，$$E=pc$$によりこれらは同じく，

$$E^\prime = \gamma(1-\beta)E$$

となる。$$E=h\nu$$を代入して，

$$h\nu^\prime = \gamma(1-\beta)h\nu$$

ゆえに，

$$\nu^\prime = \frac{1-\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}\,\nu = \sqrt\frac{1-\beta}{1+\beta}\cdot\nu = \sqrt\frac{c-v}{c+v}\cdot\nu$$

$$v\ll c$$の場合，$$\beta$$の1次まで近似をとると

$$\nu^\prime ≒ (1-\beta)\nu = \frac{c-v}{c}\cdot\nu$$

となり，音波と同じ結果を得る。
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**練習問題解答
****1
　加速度と逆方向に$$x$$軸，鉛直上方に$$y$$軸をとると，

$${\hspace{-1.5zw} \displaystyle x = \frac{1}{2}at^2 \atopwithdelims \{. \quad \displaystyle y = v_0 t - \frac{1}{2}gt^2}$$

#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=122&file=S1-5.PNG)

2式より$$t$$を消去すると軌跡の式は次のようになる。
$$\qquad \qquad y = v_0\sqrt{\frac{2x}{a}} - \frac{g}{a} x$$ 　or　$$\left(y+\frac{g}{a}x\right)^2 = \frac{2v_0^2}{a}x$$

座標軸を$$\tan\theta = \frac{a}{g}$$なる角$$\theta$$だけ回転すると，座標変換

$${ x = x^\prime \cos\theta - y^\prime \sin\theta \atopwithdelims\{.  y = x^\prime \,\sin\theta + y^\prime \cos\theta }$$

により，軌跡の式は

$$y^\prime = x^\prime \cot\theta - \frac{g^\prime}{2v_0^2\sin^2\theta}x^{\prime 2}$$

となるが，これは重力加速度が鉛直下方から角$$\theta$$の方向に

$$g^\prime = \sqrt{g^2 + a^2}$$

になったとしたときの[[斜方投射]]の軌跡にあたる。

***3
　光時計とともに動く系で光速が$$c$$であるものとすると，静止系から見た光速$$c^\prime$$は

$$c^\prime = \sqrt{c^2+v^2}$$

#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=122&file=S3-4.PNG)

となり，

$$(c^\prime t)^2 = {l_0}^2+(vt)^2$$

より

$$t = \frac{l_0}{\sqrt{{c^\prime}^2-v^2}} = \frac{l_0}{c} = t_0$$

$$t>t_0$$という時間のおくれは，光速を不変とした副作用であることがわかる。上の考察とは逆に静止系での光速を$$c$$とすれば，光時計とともに動く系では$$c^{\prime\prime}=\sqrt{c^2-v^2}$$となり，相対性原理の破たんは明らかである。

***5
　計算するまでもなく，静止系から見たときはAからの所要時間がBからの所要時間よりも長い。しかし，「中央に同時に達した」というT氏の主張に変更は許されないことに注意しよう。同一の場所における同時性が見る系によって変わるということになると，原因が先にあって結果が後におこるという因果律を破ってしまうことになるだろう。同時性が相対的であるのはあくまで離れた別の場所でのできごとについてである。
　すなわち，君の正しい主張はこうだ。

「Aが先に点灯した後，Bが点灯した。結果的に中央には，『同時に』光が到達したのだ。」

#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=122&file=S5-3.PNG)

***6
　$$t^\prime=t=0$$（光の出発）において時刻0をさしていたのは，車内では中央にある時計だけだったのだ。Aの時計はいくらかすすみ，Bの時計はいくらかおくれた時刻をさしている。与式が成立するのは中央の時計だけである。

***7-1
　行列を使ってイッキにいこう。変換は，

$$\left(\begin{array}{c}ct^\prime \\x^\prime\end{array}\right) = \gamma \left(\begin{array}{cc}1 \quad -\beta \\-\beta \quad 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}ct\\x\end{array}\right)$$

だから，逆変換は

$$\left(\begin{array}{c}ct \\x\end{array}\right) = \frac{1}{\gamma(1-\beta^2)} \left(\begin{array}{cc}1 \quad \beta \\ \beta \quad 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}ct^\prime \\x^\prime\end{array}\right) = \gamma \left(\begin{array}{cc}1 \quad \beta \\\beta \quad 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}ct^\prime \\x^\prime\end{array}\right)$$

***7-2
　$$x$$方向に速度$$v$$をもつS'系の原点における経過時間を，S系の時計で測ることを考える。

#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=122&file=S7-4.PNG)


$${\it \Delta}t = t_2 - t_1 = \gamma\left({t_2}^\prime + \frac{v{x_2}^\prime}{c^2}\right) - \gamma\left({t_1}^\prime + \frac{v{x_1}^\prime}{c^2}\right)$$
　　　$$= \gamma({t_2}^\prime - {t_1}^\prime)$$　　　　（∵　$${x_1}^\prime={x_2}^\prime=0$$ ）
　　　$$= \frac{{\it \Delta}t_0}{\sqrt{1-\beta^2}}$$　　　　※観測される側の同位置がポイント！ 

　一方，S'系で$${x_1}^\prime$$，$${x_2}^\prime$$の固定した両端をもつ線分の長さを，S系において時刻$$t$$に測定することを考える。

$${\it\Delta}x_0 = {x_2}^\prime - {x_1}^\prime = \gamma(x_2-vt_2) - \gamma(x_1-vt_1) $$
　　　$$= \gamma(x_2-x_1)$$　　　　　　　　　（∵　$$t_1=t_2=t$$）
　　　$$= \frac{{\it\Delta}x}{\sqrt{1-\beta^2}}$$　　　※観測する側の同時刻がポイント！ 

***8-1

$$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}\quad,\quad \gamma^\prime = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^{\prime 2}}}$$

とする。連続した変換を実行すると，

$$ct^{\prime\prime} = \gamma^\prime(ct^\prime-\beta^\prime x^\prime)$$
　　$$= \gamma^\prime\{\gamma(ct-\beta x)-\gamma\beta^\prime(x-\beta ct)\}$$
　　$$= \gamma\gamma^\prime\{(1+\beta\beta^\prime)ct-(\beta+\beta^\prime)x\}$$

$$x^{\prime\prime} = \gamma^\prime(x^\prime-\beta^\prime ct^\prime) \nonumber$$
　$$= \gamma^\prime\{\gamma(x-\beta ct)-\gamma\beta^\prime(ct-\beta x)\}$$
　　$$= \gamma\gamma^\prime\{(1+\beta\beta^\prime)x-(\beta+\beta^\prime)ct\}$$

しかるに，

$$\gamma\gamma^\prime = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}\sqrt{1-\beta^{\prime 2}}} = \frac{1}{\sqrt{1-(\beta^2+\beta^{\prime 2})+\beta^2\beta^{\prime 2}}}$$
　　　$$= \frac{1}{\sqrt{(1+\beta\beta^\prime)^2-(\beta+\beta^\prime)^2}}$$

したがって，

$$\gamma\gamma^\prime(1+\beta\beta^\prime) = \frac{1}{\sqrt{1-\left(\displaystyle\frac{\beta+\beta^\prime}{1+\beta\beta^\prime} \right)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1-\displaystyle\frac{w^2}{c^2}}}$$
$$\gamma\gamma^\prime(\beta+\beta^\prime) = \frac{\displaystyle\frac{\beta+\beta^\prime}{1+\beta\beta^\prime}}{\sqrt{1-\left(\displaystyle\frac{\beta+\beta^\prime}{1+\beta\beta^\prime}\right)^2}} = \frac{\displaystyle\frac{w}{c}}{\sqrt{1-\displaystyle\frac{w^2}{c^2}}} $$
　　$$\left( \because \quad　w=\frac{u+v}{1+\displaystyle\frac{uv}{c^2}}=\frac{\beta+\beta^\prime}{1+\beta\beta^\prime}\times c\right)$$

ここで，

$$\gamma^{\prime\prime} = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^{\prime\prime 2}}}\quad,\quad \beta^{\prime\prime} = \frac{w}{c}$$　とおけば，
　$$\left\{\begin{array}{l}ct^{\prime\prime} = \gamma^{\prime\prime}(ct-\beta^{\prime\prime} x) \\x^{\prime\prime} = \gamma^{\prime\prime}(x-\beta^{\prime\prime} ct) \end{array}\right.$$

***8-2
速度の$$x$$成分の変換は，

$$w_x = \frac{u_x+v}{1+\displaystyle\frac{u_xv}{c^2}}$$

となることはすぐにわかる。

#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=122&file=S8-3.PNG)

S'系において$$y^\prime$$方向の速度成分$$u_y$$をもつとき，S系から見た$$y$$成分$$w_y$$を求める。簡単のため，これまでと同様に$$t=t^\prime=0$$において，原点O，O'を通過したとすると，

$$\left\{\begin{array}{l}y = y^\prime \\t = \gamma\left(t^\prime+\displaystyle\frac{v}{c^2}x^\prime\right)\end{array}\right.$$

だから，

$$w_y = \frac{y}{t} = \frac{y^\prime}{\gamma\left(t^\prime+\displaystyle\frac{v}{c^2}x^\prime\right)}$$
　　$$= \frac{\displaystyle\frac{y^\prime}{t^\prime}}{\gamma\left(1+\displaystyle\frac{v}{c^2}\frac{x^\prime}{t^\prime}\right)} = \frac{u_y}{\gamma\left(1+\displaystyle\frac{u_xv}{c^2}\right)}$$

***9

$$v^2+w^{\prime 2} = u^2$$
$$\therefore \quad v^2+w^2\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right) = u^2 $$

#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=122&file=S9-4.PNG)

したがって，

$$\frac{m(u)}{m(w)} =\frac{\sqrt{1-w^2/c^2}}{\sqrt{1-u^2/c^2}} = \frac{\sqrt{c^2-w^2}}{\sqrt{c^2-v^2-w^2(c^2-v^2)/c^2}} = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$$

***X-1

$$ds^{\prime 2} = dx^{\prime 2}+dy^{\prime 2}+dz^{\prime 2}$$
　　$$= (dx\cos\theta + dy\sin\theta)^2 + (-dx\sin\theta + dy\cos\theta)^2 + dz^2$$
　　$$= dx^2 + dy^2 + dz^2 = ds^2$$

***X-2
$$(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})^2 = (\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) = a^2 + 2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} + b^2$$
ここで，$$(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})^2$$，$$a^2$$，$$b^2$$は不変量だから，$$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}$$は不変量のはずである。

***X-3
$$\cosh\alpha + \sinh\alpha = e^\alpha = \gamma(1 + \beta) =\sqrt{\frac{1 + \beta}{1 - \beta}}$$

したがって，

$$\alpha = \log\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}$$

***X-4

$$ds^{\prime 2} = dct^{\prime 2}-dx^{\prime 2}-dy^{\prime 2}-dz^{\prime 2}$$
　　$$= \gamma^2(dct-\beta dx)^2-\gamma^2(dx-\beta dct)^2-dy^2-dz^2$$
　　$$= \gamma^2(1-\beta^2)(dct^2-dx^2)-dy^2-dz^2$$
　　$$= dct^2-dx^2-dy^2-dz^2 = ds^2$$

***X-5
　S'系における速度$$\boldsymbol{u}=(u_x,u_y,0)$$がS系から見てどうなるかを考える。
S'系における4元速度は，

#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=122&file=SX-3.PNG)

$$u^\prime = (\gamma_uc,\gamma_u\boldsymbol{u})\quad , \quad \gamma_u=\frac{1}{\sqrt{1-u^2/c^2}}$$

である。これをS系から見たとき，

$$u = (\gamma_wc,\gamma_w\boldsymbol{w})\quad,\quad \gamma_w=\frac{1}{\sqrt{1-w^2/c^2}}$$

となるとしよう。ローレンツ変換（S' → S）により，

$$\left\{\begin{array}{l}\gamma_wc = \gamma(\gamma_uc+\beta\gamma_uu_x) = \gamma\gamma_u(c+vu_x/c)\\ \gamma_ww_x = \gamma(\gamma_uu_x+\beta\gamma_uc) = \gamma\gamma_u(u_x+v)\\ \gamma_ww_y = \gamma_uu_y\quad,\quad \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}\quad,\quad \beta=v/c\end{array}\right.$$

第1式より，

$$\gamma_w = \gamma\gamma_u\left(1+\frac{u_xv}{c^2}\right)$$

ゆえに第2式より，

$$w_x = \frac{\gamma\gamma_u}{\gamma_w}(u_x+v) = \frac{u_x+v}{1+\frac{u_xv}{c^2}}$$

第3式より，

$$w_y = \frac{\gamma_u}{\gamma_w}u_y = \frac{u_y}{\gamma\left(1+\frac{u_xv}{c^2}\right)}$$

なお，$$z$$成分がある場合も$$y$$成分と同じ形になる。

***X-6
#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=122&file=SX-4.PNG)
図のA，Bどちらで考えても同じだが，Aの場合$$\boldsymbol{p}$$の向きに注意！　ここではBで考えよう。
モメナジーの変換は，

$$\left\{\begin{array}{l}E^\prime/c = \gamma(E/c-\beta p) \\p^\prime = \gamma(p-\beta E/c)\end{array}\right.$$

だが，$$E=pc$$によりこれらは同じく，

$$E^\prime = \gamma(1-\beta)E$$

となる。$$E=h\nu$$を代入して，

$$h\nu^\prime = \gamma(1-\beta)h\nu$$

ゆえに，

$$\nu^\prime = \frac{1-\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}\,\nu = \sqrt\frac{1-\beta}{1+\beta}\cdot\nu = \sqrt\frac{c-v}{c+v}\cdot\nu$$

$$v\ll c$$の場合，$$\beta$$の1次まで近似をとると

$$\nu^\prime ≒ (1-\beta)\nu = \frac{c-v}{c}\cdot\nu$$

となり，音波と同じ結果を得る。
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