2009年のページ
「一般力学30講」（戸田）より。上で虫が円を描いて歩くときのターンテーブルの回転。
京都府医大'08を参考にしたオリジナル問題。
「ファインマン流物理がわかるコツ」演習より。
「ファインマン流物理がわかるコツ」演習より。
OKWaveのQ&Aより。二重振子をラグランジアンを使わないで解く。
オリジナル問題。滑車に巻かれたロープが，滑車を回しながら降下する運動。
「ファインマン流物理がわかるコツ」演習より。親回転盤の上で子回転盤の回転が止まると・・・。
オリジナル問題。ばねにつりさげられ，余分が床上におかれた質量のあるひもの振動。難問だと思う。
「ファインマン流物理がわかるコツ」演習より。パテがとんできて非弾性衝突をした後の棒の運動。
「ファインマン物理学」演習より改題。すべりからころがりへと移行する円筒の運動。
北大'06入試問題より（発展改題）。
「ファインマン物理学」演習より。
Algodooのサンプルより。ラグランジアンを用いた方法がいかに有効かを思い知る。
「ファインマン物理学」演習より。振子の振れによって弾丸の速さを測定する。
「ファインマン物理学」より。
OKWaveより。途中にばねがついた軽い棒の先におもりがついている振子。
青学'07入試問題より。出典は数値計算だが，一般化した。
「ファインマン物理学」演習より。
「ファインマン物理学」の演習より。テキストに解答もなかったが，シミュレーションによって正解を確認できた。
オリジナル問題。通常は相対速度を一定とする設定が普通だが，そうでない場合の発展的な問題。小球を落下によって水平に投げ出して加速する台車。
なめらかな棒にかけられたひもがすべり落ちる運動を求める。
初速が与えられて，仰角が任意の投射の到達可能な領域。
琉球大'05 改題。水平面を自由に動くすべり台から小球がすべりおりて，壁と弾性衝突をし，すべり台と壁の間を往復運動する問題。
数学を道具として使い慣れると，「計算バカ」に陥りますよ・・・という自分への戒め。
福岡大'09入試問題より。円弧状の面をもつ台の上ですべってとびだす小球。
早大'09入試問題より。降り注ぐ粒子群から力積を受ける物体の運動。分子運動論に類似の難問。
立教大'09入試問題より。固定ばねについた物体への弾丸の打ち込み問題。
相対運動と換算質量ですでに述べた相対運動の方程式について，３つの解釈が成り立つことを整理した。
宮崎大'09入試問題の発展。
岡山大'09入試問題より。
虹の広がりの角度を理論的に導出する。
@wiki版「科学のおもちゃ箱」1周年
いつのまにか1周年が過ぎていました。1年で書き込み140件超，のべアクセス数約2万5千件でした。平均2.6日で1件の投稿を続けてこれたのも，1日平均約60アクセス（自分のアクセスを割り引いた）をいただいたみなさんのおかげです。今後ともよろしくお願いいたします。m(_ _)m
東北大学'09入試問題より。斜面上に固定されたばね振子と小球の運動。
斜面をすべりおりる実験室内で振子を振らす問題。
計算練習みたいなものだが，思い通りの結果が出る楽しさを味わってほしい。
これも，かつてJavaでつくったシーンの再現。台車に乗り移った小球が円柱面を上る。
かつて，Javaで組んだことのあるシーン。今回はちょっとやさしくした。
慣性モーメントを考慮する発展版。
鉛直面内の円運動に関する典型的な問題。
よくみかける問題。
以前から，お気に入りの問題。ボビン（糸巻き）の糸を斜め上方に引くときのバランス。
後輪駆動車の単純化モデルについて，その加速の問題。
「星が見えるか見えないか」という問題に関わるパラドックスをたまたま２つ同時に思い出した。
OKWaveより。壁に設置したトラス構造に力を加えたときの変形を求める。
OKWaveの質問をきっかけに，一端を連結軸として慣性で逆回転する２本の棒の運動を解析する。
ループコースターの問題。途中から放物運動に移行した小球が，ループ中心の平面に無摩擦弾性衝突をして，ループに戻る。
ありきたりの問題？
おなじみ，モンキーハンティングの問題。
自由落下する小球と鉛直に投げ上げた小球との衝突問題。
相対運動と単振動の問題。連結のシミュレーションにひと苦労したが，何とかうまくいった。
OKWaveのQ&Aから。棒と円板を連結した連成振子の運動を解析する。
音源と反射壁の間を観測者が動くとうなりが観測される現象は，ドップラー効果の典型的な問題にもなっている。これは，定常波の位置による振幅変化を観測しているに過ぎないことが知られている。本質的には「いつ重ね合わせるか」という違いである。
3次元宇宙に逆2乗場がしっくりくるのと同様，2次元宇宙には，逆１乗場がふさわしい。2次元宇宙の逆1乗場のもとでの運動を考えてみた。
私たちの宇宙は３次元であるから，万有引力もクーロン力も逆２乗場である。Algodooで擬似遠心力の実現を考えながら，場とその源の対称性と次元についてあらためて思い当たったこと。
Phunで，回転する円筒容器に入った水の水面が放物面になるのをシミュレートできないかと思った。２次元シミュレータではちょっとムリ？ そこで擬似遠心力をつくってみた。
OKWaveの質問から。円筒形の容器を軸まわりに回転させるとき，中に入れた水があふれ出す回転数を求める問題。
力や速度のベクトルとその大きさ表示，位置や速度・エネルギーのグラフ表示は，力学シミュレータとしての活用を考える上で，大変役に立つ機能である。
物理シミュレーションソフト『Algodoo』のPhunから付加された機能，レーザー光線を
テストしてみた。
Phunの上位互換で本格的な２次元物理シミュレータ『Algodoo』が発売された。29ユーロというリーズナブルなお値段。早速使ってみた。
Phunで電気力線のシミュレート。逆２乗引力および斥力を使うが，空気抵抗によってスピードを殺してトレース。それらしいものができた。
Phunによる逆２乗斥力のテスト。
ラザフォード散乱のシミュレーションシーンが実に簡単にできました。
そもそもの出典は Monkey and Weight Problem，Lewis Carroll （1893）らしい。定滑車をはさんで質量が等しい猿とおもりがつりあって静止している。猿がロープをよじのぼろうとすると，両者はどのような運動をするか，というもの。
円軌道を周回する宇宙ステーションからボールを鉛直下方（または上方）に投げる。ボールが描く楕円軌道とステーションの円軌道の関係について。
「
かぎしっぽ」の質問から。雪崩の最も単純な力学モデル？
アポロ計画などにおける
月への航行時間について概算は難しくない。ケプラー第三法則を使うと，アポロの実績に近い値を得た。
万有引力と電気力の大きさが桁違いであることを示す，よく用いられる比較として，原子が万有引力で構成されたら・・・というものがある。あらためて計算してみた。
運動方程式の平面極座標形式に関するメモ。
'07年センター試験問題で話題になった「湯冷まし問題」を「液体モデル」で考察してみた。
熱量保存の問題で混乱することの多いものを選んで，液体モデルを用いた考察を加えてみた。
いわば内部エネルギーの液体モデルとでもいおうか。温度を液柱の高さに見立てれば，熱量保存の法則が図式的に理解可能になる。
ローカルなMLで，ゴルゴ13が制御不能になった人工衛星を宇宙空間で撃ち落すというシーンが話題になった。「無反動」だから和弓を選んだというのである。りくつのデタラメさはすぐにわかるが，射出時のダンパーの効果についてPhunでシミュレーションしてみた。
OKWaveの質問に関連して，ちょっと勉強させてもらった。サイクロトロン運動の相対論的な扱いについて。
を何と読む？ 「dy割るdx」はいうに及ばず，「dx分のdy」などもってのほか…などという人がいる。でも微分は割り算だよね？ とすれば，積分は掛け算に違いない！
単振り子の運動方程式の近似の考え方は２通りある。座標を水平にとって復元力を近似するより，弧長を座標にとって微小角の近似をとる方がすっきりする気がするが，どうだろうか？
「イオンロケット」について初歩的な実験と考察を深めているNさんに教わった「
ツィオルコフスキーのロケット方程式」について。彼女が苦慮しているイオンクラフトの「噴射速度」の考察とともに。
「
かぎしっぽ」の掲示板への質問から。この問題は，かつて優秀な後輩Ｎ君に教えてもらったことがあったと記憶している。
２段圧縮機(2009.07.03)
OKWaveの回答の再掲。
苦手な熱力学に挑戦。わけのわからぬ熱力学関数のあれこれやでんでんむし（
）の２段重ねがならぶのとちがって，これなら高校プラスアルファレベル？
質量
の鋼球が静止した質量
の鋼球に弾性衝突すると，衝突後の両者の速度は逆向きで大きさが等しくなる。はね返り係数
の衝突ではどうなるのか？
「
かぎしっぽ」での論議から。ロケット発射基地の多くが低緯度にある理由として，遠心力を利用するというものと自転速度で初速を稼ぐという２つの理由がよくあげられるが，この２つは同じことの別な表現である。
5/26に発売された物理に関するQ&A本。私も少しお手伝いをさせていただいた。ちょっと宣伝。
「ジャンピングスーパーボール」や「アストロブラスター」の名で売っている，大小のスーパーボールを積み重ねて落下させると，一番上の小さなボールがすっとんでいくおもちゃ。『Phun』でもやってみた。
地球を消滅させる小惑星の衝突から，地球を救う！
「惑星の公転周期の2乗は、軌道の半長径の3乗に比例する」
ケプラーの第３法則の成立を『Phun』でシミュレートしてみた。
近未来の巨大宇宙ステーション内では，自転による遠心力を人工擬似重力として使うことになるだろう。Phunによるシミュレーション。
外惑星探査機で使われるスイングバイ航法。その理屈を『Phun』のシミュレーションゲームで表現してみた。
潮汐を『Phun』でシミュレートしてみた。
地球を円軌道で周回する２つの宇宙船をランデブーさせる。
はいはい，遊ぶのもいい加減にしなさいよ！
お恥ずかしい限りです。
くだらないものを作ってしまいました…＾＾；。カウントミスにご注意！
低温度差型スターリングエンジンのモデル。シミュレーションは一応，高低の熱源はついてはいるものの，フライングホイールが慣性でまわっているだけ？
振子時計第2号。時計らしくなってきた。秒針・分針・時針すべて中心軸に集めるのに苦労したがまずまずの出来？おもりを動力にしようと頑張ったが今のところちょっと無理。
モーターアシスト＋アンクル脱進機でひとまずがまんした。
『Phun』にはモーターツールがあるが，あえてモーターを使わずおもりが受ける重力だけで動く振子時計に挑戦。たまにオーバーランするのはご愛嬌。
シミュレーションとしてはやや稚拙だが，『Phun』のメカによるシミュレートであることにご注目。周期の比をだいたい合わせてある。外惑星も作りたかったが，必要なギアの大きさが『Phun』のギアツールの許容を超えてしまった。＾＾；
棒振子の先端の落下と，自由落下の比較。
時間を座標の関数として求めるというのは，グラフ化するとき汎用性に欠けるものの，最も計算がラク。
「くさり効果」の単純化の最たるもの。棒１本に置き換えてみた。
さらに，棒とおもりのいろんな組み合わせで比べてみた。
この話題では，本来「
バンジー問題（くさり効果）の解析」の連結棒振子のおもりをとったものが解析しやすく，そのシミュレーションは『Phun』のサンプルシーンにも含まれているが，せっかく解析に成功したので，その後の振子の挙動を追跡してみた。
「
どっちがはやい？」でくさりにつながれたおもりの落下を『Phun』でシミュレートしたが，くさりは解析しきれないので連結した２本の剛体棒につながれたおもりの場合について，運動方程式を立てて数値解析を試みた。
鎖につながれたおもりと，自由落下するおもりとどっちが速く落ちるかな？
だいぶ前に仲間からもらって，解析したことのある「
ふりこ三兄弟」。
『Phun』でかなり近いシミュレーションができたのでリバイバル。
２個をぶつけて２個飛び出す場合と，２個を連結してぶつけてバラバラに飛び出す場合のそれぞれについて考えてみる。
バランスボールなどの商品名でも販売されている。
連続衝突する鋼球の実験と『Phun』によるシミュレーション。
斜方投射(2009.03.31)
等速度運動と等加速度運動の合成としての放物運動。
負の加速度の例として，斜面を上る小球の運動。
『Phun』で力学。ちょっとシリーズでつくってみようかと。
まずは，等加速度直線運動の「１・３・５…の法則」。
ファインマンの力学の演習を考察していたとき，トラスの微小変形の図を描くのが難しいので，シミュレーションをつくってみた。
『Phun』のモーターとギアの応用として，時計を作ってみた。
スケルトンデザインで1分計つきの本格派（？） けっこうお気に入りになりそうかも。
※ パソコンの状態に応じて，１時間に１分～数分の遅れが出るようです。
シミュレーションスピードを５％アップしました。＾＾；
『Phun』のモーターとギアの演習として，簡単な「くるま」を作ってみた。
『Phun』もβ5版へのバージョンアップの声を聞き，早速ダウンロードしてみたところ，とりわけβ4では使い物にならなかったくさり（chain）が改良されていた。ちょうど，β4版で使えるようにしようと苦心惨憺していたところ。これでようやく，糸が登場する力学を扱えるようになった。
※ その後滑車のあるシーンを手がけたが，やはりうまくいっていない。
斜面上のばねによる打ち上げにおいては，運動時間についても追跡したかったので，かなり細かい計算をした。おもりと小球の最高点や運動の概観を得るだけであれば，力学的エネルギーの分配を考えればラクである。
『Phun』のばね定数の検証に用いた問題。
不可思議な『Phun』のばねのふるまい。
いろいろシミュレーションをテストしてみて，ようやく謎が解けた？
初速度の正確な設定のために，エネルギー散逸のないスロープを作ろうとして，BMPから物体化するツールなども使ってみたが，いまひとつ満足いくものができなかった。結局，傾きを少しずつ変えた斜面を連続させることで，何とか散逸の少ないスロープにできた。
Bouncinessとはねかえり定数，Frictionと動摩擦係数の関係を調べてみた。
やはり，予測したとおりいずれも２物体の値の相乗平均が通常の
と
に当たることが確認できた。
スケールと時計がそろったところで，応用問題。円筒内をころがる円板の周期を導出し，シミュレーションで「実測」してみた。
ストップウォッチを作ってみた。リターンキーでストップする。大きいほうが１秒計，小さいほうが１２秒計である。単振子の周期測定をしてみた。まずまずかな？「ころりん」もリングと円板でやってみた。
ばねによるスケールをテストしてみた。
『Phun』で半円筒振子のシミュレーションシーンを計測したところ，理論値とよい一致をみた。
『Phun』はもちろん生まれながらの物理シミュレータ。ピタゴラ装置ふうのゲーム的活用も楽しいが，条件設定の機能をフルに活用すれば，本格的な力学シミュレータとして十分使えそうである。『Phun』に秘められた可能性を引き出しつつ，力学シミュレータとして仕立て上げることを考えた。
半円筒の転がり振子（修正）で解析したものをシミュレート。
(1)すべりなしの転がり振子 と (2)摩擦なしのすべり振子を並べてみた。
「ころりん」シミュレーションの改良版。『Phun』のツールにBMP画像を物体化するものが提供されているのを発見したので，ペイントで描いたリングを部品として用いた。さらに弾みを押さえるため斜面のはねかえりをゼロにした。
先の
小球と木片の無限回衝突（e<1）では，木片が衝突の間に一旦停止する場合について考察した。最後に残った一旦停止なしの場合について，だいぶ難儀したが解けたように思う。
小球と木片の無限回衝突において，はねかえり定数が
の一般の場合について考える。再度の衝突前に木片が停止する場合は簡単で，はねかえり定数
を考慮して先の考察に多少の手を加えるだけでよい。
質量
の小球が高さ
から斜面をすべりおりて，なめらかに接続する水平面に静止した質量
の木片に完全弾性衝突する。小球と斜面および水平面との間の摩擦は無視でき，木片と水平面との間の動摩擦係数は
，また静止摩擦は無視できる（静止摩擦係数が動摩擦係数に等しい）ものとする。この場合，小球と木片が静止するまでの両者の無限回衝突について考察する。
2001年横浜国立大の入試問題に慣性系間の電磁場の変換が出題されていますが，同じかな？
絶対値の異なる正負の電荷対がつくる電気力線に関する問題。
問題を転載させていただいた。
n次元超立方体について考察したことがあった。
「かぎしっぽ」
で４次元超球の表面積について質問があった。
n次元超球の体積・表面積について，これをきっかけに，調べてみた。
物理シミュレーションソフト『Phun』のモンキーハンティングのシーンを改良してみた。ちょっぴりゲーム的な味付けをして，簡単にモンキーハンティングの意味を伝えることができるものになったのではないかと思う。
物理シミュレーションソフト
『Phun』でモンキーハンティングのシミュレーションを作ってみた。シミュレーションを走らせてから，手動で小球の発射とサルの落下を連動させようとしたが，今のところうまくいっていない。ひとまず，スタートボタンで発射と落下を同時に実行するようにしてみた。
半円筒の転がり振子は，実は初めは半球の振動を解析してみようと思った際，準備運動として始めたつもりだった。そこで，本題の半球の転がり振動の解析。
ヒットペットゲームを物理シミュレーションソフト『Phun』でよりリアルに再現してみた。水の量を変えるなどの条件設定も簡単。
物理シミュレーションソフト『Phun』によるヒットペットのシーンを，よりゲームらしく改訂。ちょっとだけ難易度をあげて成功しにくくした。また，ペンをつけて運動の軌跡を残すようにしてみた。
半円筒の転がり振子（修正）でのすったもんだを経た決着を見て，この運動の考察を始めたときにふと気づいた「定理」を確認するときがきた。すなわち，
「剛体の回転を含む運動において，瞬間の回転軸まわりの慣性モーメントを
平行軸の定理により
（
は重心まわりの慣性モーメント，
は瞬間回転軸から重心までの距離）
とすれば，角速度
に対応する剛体の運動エネルギーは，
である。」
「物理のかぎしっぽ」掲示板で質問して，疑問が解決した。
なんと慣性モーメントの「平行軸の定理」の使い方をまちがっていました。＾＾；
修正の結果，理論値はぴったり0.53sec.で測定値に一致した！
中身の詰まった半円筒形を水平面上で転がり振動させたときの周期を求める。
手近にあったガラス製半円プリズムで実験したところ0.53sec.
理論値0.66sec. との差が気になる。摩擦なしで滑る場合は理論値0.54sec.なのだが，滑っている様子もない。どこか計算違い？
平面上にある図形Fの面積を
とし，Fと同じ平面上にありFを通らない軸Lの回りで Fを一回転させた回転体の体積を
とする。回転させる図形Fの重心Gから回転軸Lまでの距離を
としたとき、次式が成り立つ。
慣性力を用いる問題。慣性系と加速系の間の乗り換えが自由にできると，運動がよく見えてくる。固定した斜面に連続する水平に動く斜面上に小物体が乗り移り，動く斜面上で運動を続けるという「親亀・小亀」の変型。
質量
の質点Aが速度
で進行し，静止している等質量の質点Bに正面衝突する。Bにはばね定数
の軽いばねがついていて，ばねの弾性力を介して2質点は力を及ぼしあってやがて離れていく。衝突時間（ばねを介して力を及ぼしあう時間）を求む。
物理シミュレーションソフト『Phun』は液体も扱えるので，缶ジュースをころがす大道仮説実験「ころりん」のシミュレーションをつくってみようと思った。ところが，手描きで苦労して作ったリング（空き缶）は水漏れで使い物にならず・・・やむなく2重車輪とした。
Interactive Physicsへのnさんからのコメントにより思い立って，物理シミュレーションソフト『Phun』でヒットペットを試してみた。残念ながら初期条件の設定ができるのかさえわからず，しかたなく初速度を与えるマシンをそなえつけた。これはこれで自分で実験している気分にもなり，なかなかおもしろい。新しい発見もあった。
一昔前，Windows95版で使っていた物理シミュレーションソフト「Interactive Physics」を検索したら，さすがに現在のWindows XP～Vista版へのバージョンアップはサポートされていないが，デモ版をダウンロードできた。＄249はかなりのお値段。一方でよいフリーソフトがかなり出回っている今日では，ちょっと手を出しにくい。しかし，やはりなかなかよくできたソフトである。
MLで紹介されて知った，ピタゴラ装置シミュレーションソフト「あそぶつり」。
さっそくインストールして遊んでみた。MLへのレポートを転載。
かつて「伊東家の食卓」でも紹介された，はじいたペットボトルの起き上がり現象。
手回し発電機でコンデンサや2次電池を充電した場合，手を離すと発電機がモーターとなって回りだす。このとき回る方向は意外にも（？）発電機として回していた方向と同じである。この問題に端を発して，いわゆる電磁力（モーターの原理）と電磁誘導（発電機の原理）の対称性について整理してみた。
大道仮説実験「ころりん」でも話題を呼んだ，斜面上の転がり運動の本質。
鉛直に立てた棒が，下端を軸として倒れる場合と，下端が摩擦なくすべって倒れる場合の比較。
間隔0.1mmのダブルスリット（ウチダ製）を用いて，ヤングの干渉実験を行なった。あわせて，ダブルスリットの一方を開閉してダブル，シングルを切り替える実験も行なってみた。
ダブルスリットの干渉条件とともに，シングルスリットによる回折干渉の条件を整理する。
「かぎしっぽ」の掲示板から。
２質点が相互作用を及ぼしあいながら運動する２体系について考察し，相対座標と換算質量による運動の記述がエレガントで簡明なものになることを整理しました。
最終更新：2012年01月10日 10:03
