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斜方投射の問題 - (2009/02/09 (月) 21:15:02) の１つ前との変更点
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****斜方投射の問題
放物運動の初歩的な問題です。
地上高 $$h$$ の地点から初速 $$v$$ で物体を投射するとき，投射地点直下からの水平到達距離 $$L$$ を最大とする投射角 $$\theta$$ （仰角）を求めよ。ただし，空気抵抗は無視できるものとする。
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この問題で，微積分および物理いずれの演習書を見ても, $$L$$ を単純に $$\theta$$ で微分する下記のシナリオによる解法でした。解答の単純さを見ると何か他のブレイクスルーがありそうな気がするのですが，どうなのでしょう？
軌道は，
$$y=h+x\tan\theta-\frac{gx^2}{2v^2\cos^2\theta}$$
$$y=0$$ のとき， $$x=L$$ により $$L$$ の2次方程式を解くと，
$$L=\frac{v^2}{g}\cos\theta\left(\sin\theta+\sqrt{\sin^2\theta+\frac{2gh}{v^2}}\right)$$
$$dL/d\theta=0$$ によりちょっとした計算の後に，
$$\left(\cos^2\theta-\sin\theta\sqrt{\sin^2\theta+\frac{2gh}{v^2}}\right)\left(\sin\theta+\sqrt{\sin^2\theta+\frac{2gh}{v^2}}\right)=0$$
となり，
$$\theta=\sin^{-1}\frac{v}{\sqrt{2(v^2+2gh)}}$$
を得る。
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#comment(size=60, nsize=20, vsize=3, num=20)
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****斜方投射の問題
放物運動の初歩的な問題です。
地上高 $$h$$ の地点から初速 $$v$$ で物体を投射するとき，投射地点直下からの水平到達距離 $$L$$ を最大とする投射角 $$\theta$$ （仰角）を求めよ。ただし，空気抵抗は無視できるものとする。
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この問題で，微積分および物理いずれの演習書を見ても, $$L$$ を単純に $$\theta$$ で微分する下記のシナリオによる解法でした。解答の単純さを見ると何か他のブレイクスルーがありそうな気がするのですが，どうなのでしょう？
軌道は，
$$y=h+x\tan\theta-\frac{gx^2}{2v^2\cos^2\theta}$$
$$y=0$$ のとき， $$x=L$$ により $$L$$ の2次方程式を解くと，
$$L=\frac{v^2}{g}\cos\theta\left(\sin\theta+\sqrt{\sin^2\theta+\frac{2gh}{v^2}}\right)$$
$$dL/d\theta=0$$ によりちょっとした計算の後に，
$$\left(\cos^2\theta-\sin\theta\sqrt{\sin^2\theta+\frac{2gh}{v^2}}\right)\left(\sin\theta+\sqrt{\sin^2\theta+\frac{2gh}{v^2}}\right)=0$$
となり，
$$\theta=\sin^{-1}\frac{v}{\sqrt{2(v^2+gh)}}$$
を得る。
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