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****２次元の弾性衝突
「かぎしっぽ」の掲示板から。
>http://hooktail.maxwell.jp/cgi-bin/yybbs/yybbs.cgi?room=room1&mode=res&no=22760&mode2=preview_pc
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【問題】※一部改題
半径 $$a$$ 、質量 $$m$$ の２個の円盤が $$x-y$$ 平面上を運動する。速度 $$\boldsymbol{u}$$ で $$x$$ 方向に運動している円盤１が静止している円盤２に弾性衝突をする。２個の円盤は正面衝突をするのではなく、衝突パラメターが $$b$$ の衝突をする。衝突後の２個の円盤の $$x,y$$ 方向の速度を $$\theta (=\sin^{-1}b/2a)$$ の関数として求めなさい。ただし、衝突パラメターとは衝突前の２個の円盤の中心間のベクトルの $$y$$ 成分のことである。また，円盤の側面はなめらかであり，衝突時の摩擦力は無視できるものとする。
（ａ）衝突前により円盤１と円盤２の間にはどのような力が働くか。その方向を示しなさい。
（ｂ）衝突する瞬間にのみ撃力が働く。そこでその撃力を時間で積分した力積を $$S$$ とすれば、
衝突後の両円盤の速度ベクトル $$\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2$$ の成分はどのように表わされるか。
（ｃ）衝突前の前後エネルギーが保存されるとすれば、どのような関係式が導かれるか。
（ｄ）上の問題（ｂ）と（ｃ）の結果を用いて、力積 $$S$$ を求めなさい。
（ｅ）求められた $$S$$ を用いて、円盤１と円盤２の衝突後の速度ベクトルを求めなさい。
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（ａ）下図の力積ベクトル $$\boldsymbol{S}$$ および $$-\boldsymbol{S}$$ の方向。
&ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=37&file=shoutotsu.JPG)
（ｂ）
ベクトル方程式で書けば，
$$m\boldsymbol{v}_1 = m\boldsymbol{u}-\boldsymbol{S}$$
$$m\boldsymbol{v}_2 = \boldsymbol{S}$$
となるから，これを成分に書き下ろして
$$v_{1x}=u-\frac{S}{m}\cos\theta$$
$$v_{1y}=\frac{S}{m}\sin\theta$$
$$v_{2x}=\frac{S}{m}\cos\theta$$
$$v_{2y}=-\frac{S}{m}\sin\theta$$
（ｃ）
$$\frac{1}{2}m\boldsymbol{u}^2=\frac{1}{2}m{\boldsymbol{v}_1}^2+\frac{1}{2}m{\boldsymbol{v}_2}^2$$
すなわち，
$$u^2={v_{1x}}^2+{v_{1y}}^2+{v_{2x}}^2+{v_{2y}}^2$$
（ｄ）（ｂ）の結果を（ｃ）の結果に代入して整理すると，
$$S=mu\cos\theta$$
（ｅ）（ｄ）の結果を（ｂ）の結果に代入して，
$$v_{1x}=u\sin^2\theta$$
$$v_{1y}=u\sin\theta\cos\theta$$
$$v_{2x}=u\cos^2\theta$$
$$v_{2y}=-u\sin\theta\cos\theta$$
****２次元の弾性衝突
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>http://hooktail.maxwell.jp/cgi-bin/yybbs/yybbs.cgi?room=room1&mode=res&no=22760&mode2=preview_pc
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【問題】※一部改題
半径 $$a$$ 、質量 $$m$$ の２個の円盤が $$x-y$$ 平面上を運動する。速度 $$\boldsymbol{u}$$ で $$x$$ 方向に運動している円盤１が静止している円盤２に弾性衝突をする。２個の円盤は正面衝突をするのではなく、衝突パラメターが $$b$$ の衝突をする。衝突後の２個の円盤の $$x,y$$ 方向の速度を $$\theta (=\sin^{-1}b/2a)$$ の関数として求めなさい。ただし、衝突パラメターとは衝突前の２個の円盤の中心間のベクトルの $$y$$ 成分のことである。また，円盤の側面はなめらかであり，衝突時の摩擦力は無視できるものとする。
（ａ）衝突前により円盤１と円盤２の間にはどのような力が働くか。その方向を示しなさい。
（ｂ）衝突する瞬間にのみ撃力が働く。そこでその撃力を時間で積分した力積を $$S$$ とすれば、
衝突後の両円盤の速度ベクトル $$\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2$$ の成分はどのように表わされるか。
（ｃ）衝突前の前後エネルギーが保存されるとすれば、どのような関係式が導かれるか。
（ｄ）上の問題（ｂ）と（ｃ）の結果を用いて、力積 $$S$$ を求めなさい。
（ｅ）求められた $$S$$ を用いて、円盤１と円盤２の衝突後の速度ベクトルを求めなさい。
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（ａ）下図の力積ベクトル $$\boldsymbol{S}$$ および $$-\boldsymbol{S}$$ の方向。
&ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=37&file=shoutotsu.JPG)
（ｂ）
ベクトル方程式で書けば，
$$m\boldsymbol{v}_1 = m\boldsymbol{u}-\boldsymbol{S}$$
$$m\boldsymbol{v}_2 = \boldsymbol{S}$$
となるから，これを成分に書き下ろして
$$v_{1x}=u-\frac{S}{m}\cos\theta$$
$$v_{1y}=\frac{S}{m}\sin\theta$$
$$v_{2x}=\frac{S}{m}\cos\theta$$
$$v_{2y}=-\frac{S}{m}\sin\theta$$
（ｃ）
$$\frac{1}{2}m\boldsymbol{u}^2=\frac{1}{2}m{\boldsymbol{v}_1}^2+\frac{1}{2}m{\boldsymbol{v}_2}^2$$
すなわち，
$$u^2={v_{1x}}^2+{v_{1y}}^2+{v_{2x}}^2+{v_{2y}}^2$$
（ｄ）（ｂ）の結果を（ｃ）の結果に代入して整理すると，
$$S=mu\cos\theta$$
（ｅ）（ｄ）の結果を（ｂ）の結果に代入して，
$$v_{1x}=u\sin^2\theta$$
$$v_{1y}=u\sin\theta\cos\theta$$
$$v_{2x}=u\cos^2\theta$$
$$v_{2y}=-u\sin\theta\cos\theta$$
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