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****計量テンソルによるラプラシアン（覚書）(2008.12.01)
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曲線座標の計量テンソルを $$g_{ij}$$ ，その行列式を $$g=\parallel g_{ij} \parallel$$ とすれば，共変微分を用いて
$$\bigtriangleup = g^{ij}\bigtriangledown_i \bigtriangledown_j = g^{ij}\partial_i\partial_j - g^{ij}\Gamma^k_{ij}\partial_k$$
と表せる。ここに，公式
$$g^{ij}\Gamma^k_{ij} = -\frac{1}{\sqrt{g}}\partial_l(\sqrt{g} g^{lk})$$
を用いると，
$$\bigtriangleup = \frac{1}{\sqrt{g}}\partial_i(\sqrt{g} g^{ij} \partial_j)$$
となる。曲線座標におけるラプラシアンを求める簡明な公式といえる。
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上の結果を，極座標 $$(r,\theta,\phi)$$ に適用してみる。
$$g_{rr}=1,\,\,g_{\theta\theta}=r^2,\,\,g_{\phi\phi}=r^2\sin^2\theta,\,\,g^{rr}=1,\,\,g^{\theta\theta}=\frac{1}{r^2},\,\,g^{\phi\phi}=\frac{1}{r^2\sin^2\theta}$$
だから，$$\sqrt{g}=r^2\sin\theta$$ となり，
$$\bigtriangleup = \frac{1}{r^2\sin\theta}\left[\partial_r(r^2\sin\theta\partial_r)+\partial_\theta(\sin\theta\partial_\theta)+\partial_\phi\left(\frac{1}{\sin\theta}\partial_\phi\right)\right]$$
$$= \frac{1}{r^2\sin\theta}\left(2r\sin\theta \partial_r+r^2\sin\theta {\partial_r}^2 + \cos\theta \partial_\theta+\sin\theta {\partial_\theta}^2+\frac{1}{\sin\theta}{\partial_\phi}^2\right)$$
$$= {\partial_r}^2 + \frac{2}{r}\partial_r + \frac{1}{r^2}{\partial_\theta}^2 + \frac{\cot\theta}{r^2}\partial_\theta + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}{\partial_\phi}^2$$
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